Lagrangian·Eulerian 기술법, 변형구배, 유한변형률과 극분해
이 자료는 연속체의 좌표 기술법, 변형구배, 유한변형률과 극분해를 다룬다. VPSC에 적용하는 속도구배와 결정립의 운동은 VPSC의 운동학에서 다룬다.
관련 자료는 다음 순서로 읽을 수 있다.
변위와 미소변형률 자료에서는 변형 전 위치($\boldsymbol X$)를 기준으로 변위를 표현했다. 이제 같은 운동을 현재 위치($\boldsymbol x$)를 기준으로 표현하면 무엇이 달라지는지 살펴보자.
Lagrangian 기술법 (Lagrangian description, 물질 기술법)은 같은 물질점을 따라간다. 기준 배치(reference configuration)의 좌표 $\boldsymbol X$를 물질점의 이름표로 삼으면, 시간 $t$에서의 현재 위치는 운동함수 $\boldsymbol\Phi$로 표현된다.
\[\boldsymbol x=\boldsymbol\Phi(\boldsymbol X,t), \qquad \boldsymbol u_L(\boldsymbol X,t)=\boldsymbol\Phi(\boldsymbol X,t)-\boldsymbol X.\]예를 들어 막대에 표시한 점이 인장 중 어디로 이동하는지 추적하는 관점이다. 기준 배치는 보통 초기 형상으로 택하지만 반드시 무응력 상태일 필요는 없다.
Eulerian 기술법 (Eulerian description, 공간 기술법)은 현재 공간의 위치 $\boldsymbol x$에서 물리량을 관찰한다. 고정된 관찰 지점을 서로 다른 물질점들이 지나갈 수 있다. 운동함수가 역변환 가능하면 $\boldsymbol X=\boldsymbol\Phi^{-1}(\boldsymbol x,t)$이므로,
\[\boldsymbol u_E(\boldsymbol x,t)=\boldsymbol x-\boldsymbol\Phi^{-1}(\boldsymbol x,t), \qquad \boldsymbol u_E(\boldsymbol\Phi(\boldsymbol X,t),t)=\boldsymbol u_L(\boldsymbol X,t).\]두 기술법은 같은 운동을 서로 다른 독립변수로 표현한다. 변위값은 같은 물질점에서 같지만, $\nabla_X\boldsymbol u_L$과 $\nabla_x\boldsymbol u_E$는 일반적으로 다르다. 변위와 미소변형률 자료의 5–9절은 기준 좌표 구배를 사용했다. 변위구배가 작을 때에는 현재 좌표 구배와 거의 같지만, 유한변형에서는 두 구배를 구분해야 한다.
두 기술법의 차이를 요약하면 다음과 같다.
| 비교 항목 | Lagrangian 기술법 (물질 기술법) | Eulerian 기술법 (공간 기술법) |
|---|---|---|
| 관찰 기준 | 같은 물질점을 따라감 | 고정된 공간 위치에서 관찰함 |
| 독립변수 | 기준 좌표 $\boldsymbol X$와 시간 $t$ | 현재 좌표 $\boldsymbol x$와 시간 $t$ |
| 좌표의 의미 | 물질점의 이름표 | 물리량을 관찰하는 공간 위치 |
| 변위 표현 | $\boldsymbol u_L(\boldsymbol X,t)=\boldsymbol\Phi(\boldsymbol X,t)-\boldsymbol X$ | $\boldsymbol u_E(\boldsymbol x,t)=\boldsymbol x-\boldsymbol\Phi^{-1}(\boldsymbol x,t)$ |
| 공간미분 | 기준 좌표에 대한 구배 $\nabla_X$ | 현재 좌표에 대한 구배 $\nabla_x$ |
| 관찰 예 | 막대에 표시한 점의 이동을 추적 | 고정된 위치를 지나는 물질의 속도를 측정 |
기본 자료 6절의 $u(X)=0.01X$를 다시 생각하자. 이 예제를 일반화하기 위해 신장비 (stretch ratio)를 먼저 정의한다.
\[\Lambda=\frac{l}{l_0}>0.\]여기서 $l_0$는 초기 길이, $l$은 변형 후 길이이며, $\Lambda$는 무차원이다. $\Lambda=1$이면 길이 변화가 없고, $\Lambda>1$이면 인장, $0<\Lambda<1$이면 압축이다. 기본 자료 6절의 예제는 $\Lambda=1.01$에 해당한다. 이 기호를 사용하면 작은 변형과 큰 변형에서 두 기술법을 같은 식으로 비교할 수 있다.
평행이동 없이 원점을 고정한 균일 변형 $x=\Lambda X$에서
\[u_L(X)=(\Lambda-1)X, \qquad X=\frac{x}{\Lambda}, \qquad u_E(x)=\left(1-\frac1\Lambda\right)x.\]따라서 같은 운동의 변위구배도 미분에 사용하는 좌표에 따라 달라진다.
\[\frac{du_L}{dX}=\Lambda-1, \qquad \frac{du_E}{dx}=1-\frac1\Lambda.\]기본 자료 6절처럼 $\Lambda=1.01$이면 두 값은 $0.01$과 약 $0.009901$로 가깝다. 반면 $\Lambda=1.5$이면 $0.5$와 약 $0.3333$으로 차이가 커진다. 두 기술법이 다른 변형을 뜻하는 것이 아니라, 미분에 사용하는 좌표가 다르기 때문이다.
이 구분을 바탕으로 다음 절에서는 기준 배치의 선분이 현재 배치로 어떻게 변환되는지 다룬다. 물질점을 따라 관찰하는 시간 변화율은 물질미분 자료, 계산 격자의 운동까지 구분하는 ALE 기술법은 ALE 기술법에서 설명한다.
변위구배가 작지 않거나 회전각이 크면 미소변형 근사를 사용할 수 없다. 기준 좌표에 대한 현재 위치의 구배인 변형구배를 정의하자.
\[\boxed{\boldsymbol F=\frac{\partial\boldsymbol x}{\partial\boldsymbol X} =\boldsymbol I+\nabla_X\boldsymbol u_L}, \qquad F_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j}.\]$\boldsymbol I$는 단위텐서다. $F_{ij}$에서 $i$는 현재 위치의 성분이고, $j$는 미분하는 기준좌표 방향을 나타낸다. 변위구배의 성분은
\[(\nabla_X\boldsymbol u_L)_{ij}=\frac{\partial u_{L,i}}{\partial X_j}\]로 정의한다. 우변의 $\partial u_{L,i}$에서 첨자 $_L$은 Lagrangian 기술법 $_i$는 변위 성분을 뜻한다.
이웃한 물질점 사이의 미소 선분은
\[d\boldsymbol x=\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol X\]로 변환된다. 이 관계는 유한변형에서도 성립한다. $\boldsymbol F$에는 변형과 회전이 함께 들어 있으므로, $\boldsymbol F$ 자체를 변형률이라고 부르지는 않는다. 체적비를 나타내는 스칼라를 $J=\det\boldsymbol F$로 정의한다. 매끄럽고 방향을 보존하는 국소 변형에서는 $J>0$이고,
\[dv=J\,dV, \qquad \frac{dv-dV}{dV}=J-1\]이다. $dV$와 $dv$는 기준 배치와 현재 배치의 체적요소(volume element)다. $J=dv/dV$는 체적비이고, $J-1=(dv-dV)/dV$은 기준 체적에 대한 상대 체적 변화량이다. $J>1$이면 체적이 증가하고, $0<J<1$이면 감소한다. 비압축성 변형의 정확한 조건은 $J=1$이다.
현재 좌표 $\boldsymbol x$에 대한 Eulerian 변위구배와의 관계도 확인하자. 운동함수 $\boldsymbol\Phi$가 매끄럽고 역변환 가능하다고 가정하면, 현재 위치에 있는 물질점의 기준 위치는
\[\boldsymbol X=\boldsymbol\Phi^{-1}(\boldsymbol x,t) =\boldsymbol x-\boldsymbol u_E(\boldsymbol x,t)\]이다. 시간을 고정하고 현재좌표로 미분하면
\[\boxed{\boldsymbol F^{-1} =\frac{\partial\boldsymbol X}{\partial\boldsymbol x} =\boldsymbol I-\nabla_x\boldsymbol u_E}\]를 얻는다.
변형 전후 선분 길이의 제곱 차이1는
\[d\boldsymbol x\cdot d\boldsymbol x-d\boldsymbol X\cdot d\boldsymbol X =d\boldsymbol X\cdot\left((\boldsymbol F^T\cdot\boldsymbol F-\boldsymbol I)\cdot d\boldsymbol X\right) =2d\boldsymbol X\cdot(\boldsymbol E\cdot d\boldsymbol X)\]이다.2 따라서 Green–Lagrange 변형률 (Green–Lagrange strain), $\boldsymbol E$는
\[\boxed{\boldsymbol E=\frac12(\boldsymbol F^T\cdot \boldsymbol F-\boldsymbol I)}.\]$\boldsymbol H=\nabla_X\boldsymbol u_L$을 대입하면
\[\boldsymbol E=\frac12(\boldsymbol H+\boldsymbol H^T+\boldsymbol H^T\cdot \boldsymbol H).\]미소변형률은 이 식에서 이차항 $\boldsymbol H^T\cdot \boldsymbol H$를 무시한 근사다. 즉 $|\boldsymbol H|\ll1$일 때 $\boldsymbol E\approx\boldsymbol\varepsilon$이다. 병진변위(translational displacement)의 크기(즉 $|\boldsymbol u_L|$)보다 변위구배($\boldsymbol H=\nabla_X\boldsymbol u_L$)의 크기가 근사의 기준이라는 점에 주목하자.
같은 길이 변화를 현재 선분 $d\boldsymbol x$로 표현하면 Euler–Almansi 변형률 (Euler–Almansi strain), $\boldsymbol e$를 얻는다.
\[\boxed{\boldsymbol e=\frac12(\boldsymbol I-\boldsymbol F^{-T}\cdot \boldsymbol F^{-1})}, \qquad d\boldsymbol x\cdot d\boldsymbol x-d\boldsymbol X\cdot d\boldsymbol X =2d\boldsymbol x\cdot(\boldsymbol e\cdot d\boldsymbol x).\]$\boldsymbol F^{-T}=(\boldsymbol F^{-1})^T$다. $\boldsymbol E$와 $\boldsymbol e$는 각각 기준 배치와 현재 배치의 선분으로 같은 길이 변화를 표현하지만 수치는 일반적으로 다르다. 좌표 기술법을 선택하는 것과 변형률 척도를 선택하는 것은 구분해야 한다.
균일 인장 $x=\Lambda X$에서 신장비 (stretch ratio)는 $\Lambda=l/l_0>0$이다. 아래 척도들은 작은 인장에서는 비슷하지만 큰 인장에서는 달라진다.
| 변형률 척도 | 정의 | $\Lambda=1.5$ |
|---|---|---|
| 공칭·공학변형률 | $\Lambda-1$ | $0.5$ |
| Green–Lagrange 변형률 | $(\Lambda^2-1)/2$ | $0.625$ |
| Euler–Almansi 변형률 | $(1-\Lambda^{-2})/2$ | $0.2778$ |
| 로그변형률 (logarithmic strain) | $\ln\Lambda$ | $0.4055$ |
공칭변형률 $du_L/dX=\Lambda-1$은 이 1차원 문제에서는 큰 인장에도 정확하다. 다만 이를 일반적인 유한변형률 텐서와 동일시할 수는 없다.
이제 강체운동 $\boldsymbol x=\boldsymbol Q\cdot \boldsymbol X+\boldsymbol c$를 생각하자. $\boldsymbol Q^T\cdot \boldsymbol Q=\boldsymbol I$, $\det\boldsymbol Q=1$인 회전텐서에 대해
\[\boldsymbol F=\boldsymbol Q, \qquad \boldsymbol E=\boldsymbol e=\boldsymbol 0.\]반면 평면에서 $\theta$만큼 회전할 때 미소변형률 공식을 기준 좌표 구배에 적용하면
\[\frac12[(\boldsymbol Q-\boldsymbol I)+(\boldsymbol Q-\boldsymbol I)^T] =(\cos\theta-1)\boldsymbol I\]가 된다. $90^\circ$ 회전에서는 $-\boldsymbol I$라는 잘못된 변형률이 나온다. 작은 $\theta$에서는 $\cos\theta-1\approx-\theta^2/2$가 이차항이므로 미소변형 근사에서 무시할 수 있다.
$\det\boldsymbol F>0$인 변형구배는 다음과 같이 유일하게 분해된다.
\[\boxed{\boldsymbol F=\boldsymbol R\cdot \boldsymbol U=\boldsymbol V\cdot \boldsymbol R}.\]$\boldsymbol R$은 $\boldsymbol R^T\cdot \boldsymbol R=\boldsymbol I$, $\det\boldsymbol R=1$을 만족하는 회전텐서(rotation tensor)다. $\boldsymbol U$와 $\boldsymbol V$는 대칭 양의 정부호인 우신장텐서(right stretch tensor)와 좌신장텐서(left stretch tensor)다. 이들의 고유값은 양의 주신장비(principal stretches)다.
텐서의 연속 작용은 오른쪽부터 적용하므로 $\boldsymbol R\cdot \boldsymbol U$는 기준 배치 방향에서 신장한 뒤 회전하는 표현이고, $\boldsymbol V\cdot \boldsymbol R$는 회전한 뒤 현재 배치 방향에서 신장하는 표현이다. 이는 같은 국소 변형을 나타내는 두 수학적 표현이며 실제 변형의 시간 순서를 뜻하지 않는다.
\[\boldsymbol C=\boldsymbol F^T\cdot \boldsymbol F=\boldsymbol U^2, \qquad \boldsymbol B=\boldsymbol F\cdot \boldsymbol F^T=\boldsymbol V^2,\] \[\boldsymbol U=\sqrt{\boldsymbol C}, \qquad \boldsymbol V=\sqrt{\boldsymbol B}, \qquad \boldsymbol R=\boldsymbol F\cdot \boldsymbol U^{-1}, \qquad \boldsymbol V=\boldsymbol R\cdot \boldsymbol U\cdot \boldsymbol R^T.\]$\boldsymbol C$와 $\boldsymbol B$는 각각 우·좌 Cauchy–Green 변형텐서다. 행렬의 제곱근은 성분마다 제곱근을 취하는 것이 아니다. 예를 들어 $[\boldsymbol C]=[\boldsymbol P]\operatorname{diag}(\Lambda_1^2,\Lambda_2^2,\Lambda_3^2)[\boldsymbol P]^T$에서 $[\boldsymbol P]$가 정규직교 고유벡터를 열로 갖는 행렬이면, $[\boldsymbol U]=[\boldsymbol P]\operatorname{diag}(\Lambda_1,\Lambda_2,\Lambda_3)[\boldsymbol P]^T$다.
텐서의 거듭제곱은 수축의 반복을 뜻한다. 예를 들어 $\boldsymbol U^2=\boldsymbol U\cdot\boldsymbol U$다. 신장텐서로 유한변형률을 쓰면
\[\boldsymbol E=\frac12(\boldsymbol U^2-\boldsymbol I), \qquad \boldsymbol e=\frac12(\boldsymbol I-\boldsymbol V^{-2}).\]강체회전에서는 $\boldsymbol U=\boldsymbol V=\boldsymbol I$이므로 변형률은 0이다. 기본 자료 8절의 $\nabla_X\boldsymbol u=\boldsymbol\varepsilon+\boldsymbol\omega$는 작은 변형·회전의 가법적 분해이고, 극분해는 유한변형의 곱셈적 분해다. 극분해의 회전·신장은 탄성·소성 성분을 분리하는 $\boldsymbol F=\boldsymbol F_e\cdot \boldsymbol F_p$와는 다른 구분이다.
같은 정규직교 기저의 성분 배열로 계산한다. 평면에서 $X_1$방향으로 2배 신장한 뒤 $90^\circ$ 회전하면
\[[\boldsymbol U]=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}, \qquad [\boldsymbol R]=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}, \qquad [\boldsymbol F]=[\boldsymbol R][\boldsymbol U]=\begin{bmatrix}0&-1\\2&0\end{bmatrix}.\]이때
\[[\boldsymbol V]=[\boldsymbol R][\boldsymbol U][\boldsymbol R]^T=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}, \qquad [\boldsymbol E]=\frac12([\boldsymbol U]^2-[\boldsymbol I])=\begin{bmatrix}1.5&0\\0&0\end{bmatrix}.\]기준 배치의 $X_1$방향 신장이 회전 후 현재 배치의 $x_2$방향 신장으로 표현된다. $\boldsymbol E$는 기준 배치에서의 신장을 나타내며 강체회전 때문에 값이 바뀌지 않는다. 변형구배·극분해·Green–Lagrange 변형률의 추가 학습은 MIT OCW 강의 3을 참고한다.
| 개념 | 공식 |
|---|---|
| 두 기술법의 미소변형률 근사 | $\varepsilon = du_L/dX\approx du_E/dx$ |
| 변형구배 | $\boldsymbol F=\partial\boldsymbol x/\partial\boldsymbol X=\boldsymbol I+\nabla_X\boldsymbol u_L$ |
| 체적비 | $J=\det\boldsymbol F$ |
| Green–Lagrange 변형률 | $\boldsymbol E=(\boldsymbol F^T\cdot \boldsymbol F-\boldsymbol I)/2$ |
| Euler–Almansi 변형률 | $\boldsymbol e=(\boldsymbol I-\boldsymbol F^{-T}\cdot \boldsymbol F^{-1})/2$ |
| 극분해 | $\boldsymbol F=\boldsymbol R\cdot \boldsymbol U=\boldsymbol V\cdot \boldsymbol R$ |
벡터 $\boldsymbol v$의 길이는 $|\boldsymbol v|=\sqrt{\boldsymbol v\cdot\boldsymbol v}$이고, 길이의 제곱은 $|\boldsymbol v|^2=\boldsymbol v\cdot\boldsymbol v$다. 따라서 선분의 제곱 길이는 각각 $d\boldsymbol X\cdot d\boldsymbol X$와 $d\boldsymbol x\cdot d\boldsymbol x$로 표현된다. 길이 자체 대신 제곱을 사용하면 제곱근 없이 내적과 텐서로 길이 변화를 표현할 수 있다. 실제 길이는 이 값의 제곱근이며, 제곱 길이와 길이는 구분해야 한다. $d\boldsymbol x=\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol X$를 대입하면 $d\boldsymbol x\cdot d\boldsymbol x= [d\boldsymbol X]^T[\boldsymbol F]^T[\boldsymbol F][d\boldsymbol X]$가 되어 본문의 관계를 얻는다. ↩
같은 정규직교 기저에서 미소 선분의 성분을 열벡터 $[d\boldsymbol X]$, $[d\boldsymbol x]$로 배열한다. 대괄호는 성분 배열이며, 내적은 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=[\boldsymbol a]^T[\boldsymbol b]$다. 위첨자 $T$는 전치(transpose)로, 열벡터를 행벡터로 바꾼다. $[d\boldsymbol x]=[\boldsymbol F][d\boldsymbol X]$에 곱의 전치 규칙 $([\boldsymbol A][\boldsymbol B])^T=[\boldsymbol B]^T[\boldsymbol A]^T$를 적용하면
\[\begin{aligned} d\boldsymbol x\cdot d\boldsymbol x &=[d\boldsymbol x]^T[d\boldsymbol x]\\ &=([\boldsymbol F][d\boldsymbol X])^T([\boldsymbol F][d\boldsymbol X])\\ &=[d\boldsymbol X]^T[\boldsymbol F]^T[\boldsymbol F][d\boldsymbol X]. \end{aligned}\]기준 선분에 대해서는 $d\boldsymbol X\cdot d\boldsymbol X=[d\boldsymbol X]^T[\boldsymbol I][d\boldsymbol X]$이므로, 제곱 길이의 차이는
\[\begin{aligned} d\boldsymbol x\cdot d\boldsymbol x-d\boldsymbol X\cdot d\boldsymbol X &=[d\boldsymbol X]^T([\boldsymbol F]^T[\boldsymbol F]-[\boldsymbol I])[d\boldsymbol X]\\ &=2[d\boldsymbol X]^T[\boldsymbol E][d\boldsymbol X]. \end{aligned}\]이는 이차형식 (quadratic form)이다. 3차원에서 배열 크기는 $(1\times3)(3\times3)(3\times1)$이므로 결과는 제곱 길이 단위의 스칼라다. 성분으로는 $dX_i(F_{ki}F_{kj}-\delta_{ij})dX_j$이며, 반복 인덱스에 대해 합한다. 여기서 $\boldsymbol E=(\boldsymbol F^T\cdot\boldsymbol F-\boldsymbol I)/2$다. 특히 $d\boldsymbol X=\ell_0\boldsymbol N$인 선분($|\boldsymbol N|=1$)에 대해 $\boldsymbol N\cdot(\boldsymbol E\cdot\boldsymbol N)=[\boldsymbol N]^T[\boldsymbol E][\boldsymbol N]=(\ell^2-\ell_0^2)/(2\ell_0^2)$이므로, 이차형식은 기준 방향 $\boldsymbol N$의 선분이 얼마나 늘어나거나 줄어드는지를 나타낸다. $\ell_0$와 $\ell$은 해당 미소 선분의 변형 전후 길이다. ↩