물질미분과 ALE 기술법
물질점을 따라 관찰하는 변화율과 계산 격자의 운동
관련 자료는 다음 순서로 읽을 수 있다.
1. 물질미분 (material derivative)
1.1. 물질점을 따라 관찰하는 변화율
물질미분은 움직이는 물질점이 경험하는 물리량의 변화율이다. 온도장 $T(\boldsymbol x,t)$에서 고정된 위치의 온도 변화율은 $\left.\partial T/\partial t\right|_{\boldsymbol x}$다. 그러나 물질점은 이동하므로, 다른 온도의 위치로 이동하며 경험하는 변화도 포함해야 한다.
물질점의 운동을 $\boldsymbol x=\boldsymbol\Phi(\boldsymbol X,t)$로 나타내면, 같은 물질점이 경험하는 온도는
\[T_L(\boldsymbol X,t)=T(\boldsymbol\Phi(\boldsymbol X,t),t)\]이다. 물질점의 이름표 $\boldsymbol X$를 고정하고 연쇄법칙을 적용하면
\[\begin{aligned} \frac{DT}{Dt} &=\left.\frac{\partial T_L}{\partial t}\right|_{\boldsymbol X}\\ &=\left.\frac{\partial T}{\partial t}\right|_{\boldsymbol x} +\frac{\partial T}{\partial x_i} \left.\frac{\partial\Phi_i}{\partial t}\right|_{\boldsymbol X}\\ &=\left.\frac{\partial T}{\partial t}\right|_{\boldsymbol x} +v_i\frac{\partial T}{\partial x_i}. \end{aligned}\]여기서 $\boldsymbol v=\left.\partial\boldsymbol\Phi/\partial t\right|_{\boldsymbol X}$는 물질점의 속도다. 반복 첨자 $i$는 세 공간 방향에 대한 합을 뜻하며, 우변은 해당 물질점의 현재 위치에서 평가한다. 벡터 표기로 쓰면
\[\boxed{\frac{DT}{Dt} =\left.\frac{\partial T}{\partial t}\right|_{\boldsymbol x} +\boldsymbol v\cdot\nabla_xT}.\]첫 항은 고정된 위치에서의 시간 변화이고, 둘째 항은 물질점의 이동에 의한 변화인 이송항 (convective term)이다. 따라서 Lagrangian 기술법에서는 같은 물질점의 시간 미분이 곧 물질미분이며, Eulerian 기술법에서는 고정 위치의 시간 미분에 이송항을 더한다.
1.2. 시간에 따라 변하지 않는 온도장에서의 물질미분
$x$를 m 단위로 측정할 때, 시간에 따라 변하지 않는 1차원 온도장을
\[T(x)=20\,{}^\circ\mathrm C +\left(10\,{}^\circ\mathrm C/\mathrm m\right)x\]라고 하자. 물질점이 $v=2\,\mathrm{m/s}$로 이동하면
\[\left.\frac{\partial T}{\partial t}\right|_x=0, \qquad \frac{DT}{Dt}=v\frac{dT}{dx} =2\times10=20\,{}^\circ\mathrm C/\mathrm s.\]고정된 온도계의 값은 변하지 않지만, 이동하는 물질점은 더 따뜻한 곳으로 가므로 초당 $20\,{}^\circ\mathrm C$의 온도 증가를 경험한다.
위 그림의 (a)에서 파란 선은 시간에 따라 변하지 않는 온도장이고, 빨간 점들은 $x(0)=0$에서 출발한 같은 물질점의 $t=0,1,2\,\mathrm s$ 위치와 온도를 나타낸다. 초록색 원은 $x=1\,\mathrm m$에 고정된 관찰점이다. (b)는 각 관찰자가 기록하는 온도를 시간에 대해 그린 것으로, 고정점에서는 $30\,{}^\circ\mathrm C$로 일정하지만 이동점에서는 $20,40,60\,{}^\circ\mathrm C$로 상승한다.
1.3. 공간과 시간에 모두 의존하는 온도장
이번에는 A.2의 온도장이 모든 위치에서 시간에 따라 상승하는 경우를 생각하자. $x$는 m, $t$는 s 단위로 측정하며,
\[T(x,t)=20\,{}^\circ\mathrm C +\left(10\,{}^\circ\mathrm C/\mathrm m\right)x +\left(3\,{}^\circ\mathrm C/\mathrm s\right)t\]라고 하자. 고정된 위치에서의 온도 상승률과 공간에 대한 기울기는 각각
\[\left.\frac{\partial T}{\partial t}\right|_x =3\,{}^\circ\mathrm C/\mathrm s, \qquad \frac{\partial T}{\partial x}=10\,{}^\circ\mathrm C/\mathrm m\]이다. 물질점이 $v=2\,\mathrm{m/s}$로 이동하면
\[\boxed{\frac{DT}{Dt} =\left.\frac{\partial T}{\partial t}\right|_x +v\frac{\partial T}{\partial x} =3+2\times10=23\,{}^\circ\mathrm C/\mathrm s}.\]고정된 온도계는 초당 $3\,{}^\circ\mathrm C$의 상승을 측정한다. 이동하는 물질점은 이 시간 변화에 더해 더 따뜻한 위치로 이동하는 효과도 경험하므로, 초당 $23\,{}^\circ\mathrm C$의 상승을 경험한다.
물질점의 경로에 온도장을 직접 대입해도 같은 결과를 확인할 수 있다. $t=0$에서 $x=X$인 물질점의 운동은 $x(X,t)=X+vt$이므로,
\[\begin{aligned} T_L(X,t)&=T(X+vt,t)\\ &=20\,{}^\circ\mathrm C +\left(10\,{}^\circ\mathrm C/\mathrm m\right)X +\left(23\,{}^\circ\mathrm C/\mathrm s\right)t,\\ \left.\frac{\partial T_L}{\partial t}\right|_X &=23\,{}^\circ\mathrm C/\mathrm s. \end{aligned}\]두 효과가 항상 같은 부호인 것은 아니다. 같은 온도장에서 물질점이 반대 방향으로 $v=-2\,\mathrm{m/s}$로 이동하면 $DT/Dt=3-20=-17\,{}^\circ\mathrm C/\mathrm s$다. 각 위치의 온도는 상승하고 있어도, 물질점은 더 차가운 위치로 빠르게 이동하므로 자신이 경험하는 온도는 감소한다.
1.4. 속도의 물질미분과 가속도
물질미분은 벡터장의 각 성분에도 적용할 수 있다. 고정된 Cartesian(직교) 좌표계에서 속도의 물질미분은 물질점의 가속도다.
\[\boxed{\boldsymbol a=\frac{D\boldsymbol v}{Dt} =\left.\frac{\partial\boldsymbol v}{\partial t}\right|_{\boldsymbol x} +(\boldsymbol v\cdot\nabla_x)\boldsymbol v}, \qquad a_i=\frac{\partial v_i}{\partial t}+v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}.\]속도장이 시간에 따라 일정해도, 물질점이 공간적으로 속도 크기나 방향이 다른 곳으로 이동하면 가속도가 생길 수 있다. 예를 들어 정상 유동이 좁아지는 통로를 지나며 빨라지는 경우에는 시간에 대한 편미분이 0이어도 이송항에 의한 가속도가 존재한다.
2. ALE 기술법
Lagrangian과 Eulerian 기술법과 1절의 물질미분을 바탕으로, 계산 격자의 운동을 별도로 다루는 방법을 살펴보자.
ALE (Arbitrary Lagrangian–Eulerian, 임의 Lagrangian–Eulerian) 기술법에서는 계산 격자(computational mesh)의 운동을 물질의 운동과 별도로 정한다. 격자좌표 $\boldsymbol\xi$를 사용하여
\[\boldsymbol x=\boldsymbol\psi(\boldsymbol\xi,t), \qquad \boldsymbol w=\left.\frac{\partial\boldsymbol\psi}{\partial t}\right|_{\boldsymbol\xi}\]라고 쓰면, $\boldsymbol w$는 격자 속도이고 $\boldsymbol v$는 물질 속도다.
| 기술법 | 격자의 운동 | 물질의 격자에 대한 상대속도 |
|---|---|---|
| Lagrangian | 물질과 함께 이동: $\boldsymbol w=\boldsymbol v$ | $\boldsymbol 0$ |
| Eulerian | 공간에 고정: $\boldsymbol w=\boldsymbol 0$ | $\boldsymbol v$ |
| ALE | 격자 품질과 경계조건에 맞게 이동 | $\boldsymbol v-\boldsymbol w$ |
$q_{ALE}(\boldsymbol\xi,t)=q(\boldsymbol\psi(\boldsymbol\xi,t),t)$라고 정의하면, 연쇄법칙에 의해
\[\frac{Dq}{Dt}=\left.\frac{\partial q_{ALE}}{\partial t}\right|_{\boldsymbol\xi} +(\boldsymbol v-\boldsymbol w)\cdot\nabla_x q\]가 된다. 우변은 대응하는 동일한 위치에서 평가한다. 물질이 격자를 통과하므로 상대속도에 의한 이송을 계산해야 한다.
물질을 따라가는 격자(Lagrangian mesh)는 큰 변형에서 심하게 찌그러질 수 있고, 고정 격자(Eulerian mesh)는 움직이는 경계를 표현하기 어려울 수 있다. ALE는 격자를 조절하여 이 문제를 줄이는 데 사용되며, 압출 같은 큰 소성변형이나 유체–구조 상호작용에서 유용하다.
격자 운동은 경계조건을 만족해야 하며, 격자 사상은 역변환 가능해야 한다. 좌표와 미분에 관한 추가 설명은 COMSOL 공식 문서를 참고한다.