VPSC의 운동학

VPSC의 속도구배, 결정립 형상 변화와 격자 회전

• 1. 운동학 개요
  • 1.1. 속도구배
  • 1.2. 운동학
• 2. 변형구배
• 3. 결정립의 누적 변형과 형상
• 4. 점의 속도
• 5. 속도구배
• 6. 연습 문제

이 자료는 VPSC (Visco-Plastic Self-Consistent)에서 사용하는 속도구배, 결정립 형상 변화와 격자 회전을 다룬다. 기본적인 유한변형의 정의는 유한변형의 운동학을 참고한다.

1. 운동학 개요

1.1. 속도구배

\[\boldsymbol L = \boldsymbol D + \boldsymbol W\]

• $\boldsymbol L$: 속도구배 텐서(velocity gradient tensor)
• $\boldsymbol D$: 변형률속도 텐서(rate-of-deformation tensor)
• $\boldsymbol W$: 스핀 텐서(spin tensor)

1.2. 운동학

VPSC에서는 거시적 속도구배와 결정립별 국소 속도구배를 구분한다. 결정립의 국소 변형률속도와 회전은 자기일관성 계산으로 결정하므로, 모든 결정립에 같은 속도구배를 부과한다고 가정하지 않는다.

• $\boldsymbol X$ : 초기 위치; Reference configuration

• $\boldsymbol x$ : 변화된 위치; current configuration

• $\boldsymbol{X}\rightarrow\boldsymbol{x}(t)$

2. 변형구배

• $\boldsymbol F=\frac{\partial \boldsymbol x}{\partial \boldsymbol X}$

• Change in infinitesimal line vector ($d\boldsymbol X$)

\[d\boldsymbol x = \boldsymbol F \cdot d\boldsymbol X\]

• 체적비는 $J=\det\boldsymbol F=dv/dV$로 나타낸다. 물리적으로 허용되는 변형에서는 $J>0$이어야 하고, 비압축성 변형에서는 $J=1$이다.

3. 결정립의 누적 변형과 형상

결정립별 속도구배 $\boldsymbol L^g$로 누적 변형구배 $\boldsymbol F^g$를 갱신한다. 여기서 $g$는 결정립을 나타낸다.

\[\dot{\boldsymbol F}^g=\boldsymbol L^g\cdot\boldsymbol F^g.\]

이 누적 변형은 결정립을 나타내는 타원체의 형상과 방향을 갱신하는 데 사용된다. 타원체 축의 회전과 결정격자의 회전은 구분한다.

4. 점의 속도

국소 속도장은 $\boldsymbol v\equiv\boldsymbol v(\boldsymbol x,t)$이며, 그 공간미분이 결정립의 속도구배다.

5. 속도구배

• 정의: $(\nabla_x\boldsymbol v)_{ij}=\partial v_i/\partial x_j$. 위의 점은 같은 물질점을 따라가는 시간미분이다. \(\boldsymbol L = \nabla_x \boldsymbol v=\dot{\boldsymbol F}\cdot\boldsymbol F^{-1}\)

\[[\boldsymbol L]= \begin{bmatrix} \frac{\partial v_1}{\partial x_1} & \frac{\partial v_1}{\partial x_2} & \frac{\partial v_1}{\partial x_3} \\ \frac{\partial v_2}{\partial x_1} & \frac{\partial v_2}{\partial x_2} & \frac{\partial v_2}{\partial x_3} \\ \frac{\partial v_3}{\partial x_1} & \frac{\partial v_3}{\partial x_2} & \frac{\partial v_3}{\partial x_3} \end{bmatrix}\]

• 속도구배의 가산 분해

\[\boldsymbol L = \boldsymbol D+\boldsymbol W\] \[\boldsymbol D = \frac{1}{2}\big(\boldsymbol L+\boldsymbol L^T\big)\] \[\boldsymbol W = \frac{1}{2}\big(\boldsymbol L-\boldsymbol L^T\big)\]

• 경계조건에서는 $\boldsymbol L$의 성분이나 응력 $\boldsymbol\sigma$의 성분 중 일부를 지정할 수 있다. 한 성분에 두 조건을 동시에 부과하지 않도록 주의한다.

\[\begin{bmatrix} L_{11}&L_{12}&L_{13}\\ L_{21}&L_{22}&L_{23}\\ L_{31}&L_{32}&L_{33} \end{bmatrix}\]

슬립에 의한 변형과 격자 회전

동일한 시료 좌표계에서, 전단에 의한 속도구배는

\[\boldsymbol L^{\mathrm{slip},g} =\sum_s\dot\gamma^{s,g}\boldsymbol b^{s,g}\otimes\boldsymbol n^{s,g}\]

로 쓴다. $\boldsymbol b^{s,g}$와 $\boldsymbol n^{s,g}$는 각각 단위 슬립 방향과 면 법선이다. $\dot\gamma^{s,g}$는 해당 계의 전단속도다. 이 절은 슬립을 중심으로 설명한다.

\[\boldsymbol W^{\mathrm{slip},g} =\frac12(\boldsymbol L^{\mathrm{slip},g}-(\boldsymbol L^{\mathrm{slip},g})^T), \qquad \boldsymbol W^{\mathrm{lat},g} =\boldsymbol W^g-\boldsymbol W^{\mathrm{slip},g}.\]

격자 스핀 $\boldsymbol W^{\mathrm{lat},g}$은 결정립의 전체 스핀에서 슬립 스핀을 뺀 값이다. 따라서 결정방위의 변화는 전체 스핀만으로 결정되지 않는다. 이는 탄성 변형률속도를 별도로 풀지 않는 점소성 VPSC의 설명이며, 탄성·소성 변형구배의 곱셈 분해를 사용하는 모델과 구분한다.

VPSC8의 구현은 공식 소스의 UPDATE_ORIENTATION 및 UPDATE_FIJ를 참고한다. 쌍정에 의한 별도의 방위 재배향과 결정립 간 공동 회전은 추가 규칙으로 처리된다.

6. 연습 문제

문제 1

변형구배 $\boldsymbol F$가 단위행렬이면 물체의 국소적인 변형은 어떤 상태인가?

문제 2

속도구배 $\boldsymbol L$을 대칭부분과 반대칭부분으로 분해하여 쓰시오.

문제 3

$\boldsymbol D$와 $\boldsymbol W$가 각각 나타내는 운동학적 의미를 쓰시오.

문제 4

슬립 스핀이 0이 아닐 때 결정립의 전체 스핀과 격자 스핀이 같은지 설명하시오.