2x2 행렬 $\boldsymbol a$와 $\boldsymbol b$의 곱을 생각하자. 그 결과는 또 다른 2x2 행렬이 되며, 이를 $\boldsymbol c$라 하면
\[\boldsymbol c = \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b\]
각 행렬의 성분을 아래와 같이 표현하면
\[\boldsymbol a = \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol b = \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol c = \begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{bmatrix}.\]
$k$와 같이 summation index는 반복되는 첨자로 나타내며, 같은 첨자가 두 번 나타나면 그 첨자에 대해 합을 취한다. $k$를 dummy index라고도 부른다.
1.6. 매트릭스 곱하기4 (3x3 matrix multiplication)
3x3 행렬 $\boldsymbol a$와 $\boldsymbol b$의 곱을 생각하자. 그 결과는 또 다른 3x3 행렬이 되며, 이를 $\boldsymbol c$라 하면
\[\boldsymbol c = \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b\]
각 행렬의 성분을 아래와 같이 표현하면
\[\boldsymbol a = \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol b = \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol c = \begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}.\]
이 절에서는 두 행렬의 곱에서 자리를 바꿔 곱하는 경우를 다룬다. 일반적으로 행렬 곱은 교환법칙이 성립하지 않으므로, \(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b \neq \boldsymbol b \cdot \boldsymbol a\) 이다. 다만 특별한 경우, 예를 들어 두 행렬이 모두 대각행렬이거나, 한 행렬이 단위행렬인 경우에는 교환법칙이 성립한다.
2x2 행렬 $\boldsymbol a$와 $\boldsymbol b$의 곱이 $\boldsymbol d$ 행렬이라 하자. 즉, \(\boldsymbol d = \boldsymbol b \cdot \boldsymbol a\) \(\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21}&b_{11}a_{12}+b_{12}a_{22}\\b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21}&b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}\end{bmatrix}\)
따라서 \(\begin{bmatrix}\boldsymbol d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21}&b_{11}a_{12}+b_{12}a_{22}\\b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21}&b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}\end{bmatrix}\)
그런데 일반적으로 $\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b$ 곱의 결과 행렬을$\boldsymbol c$라 하고(즉, $\boldsymbol c = \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b$) 그 결과를 구하면
위 절에서 두 행렬의 곱 결과 $\boldsymbol d$와 $\boldsymbol c$를 비교하면, 일반적으로 $\boldsymbol d \neq \boldsymbol c$임을 알 수 있다. 따라서 일반적으로 행렬 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다는 것을 알 수 있다. \(\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\)
1.8. 매트릭스 전치(transpose)
아래에서는 대괄호를 사용해 대응하는 행렬곱을 설명한다.
행렬 $[\boldsymbol A]$의 전치는 $[\boldsymbol A]^T$로 표기한다. 행과 열을 서로 바꾸므로, $m\times n$ 행렬의 전치는 $n\times m$ 행렬이며 성분은
즉 \(\sum_{k=1}^3A_{ik}A^{-1}_{kj}=I_{ij} \text{ with } i=1,2,3\ \ \ \ j=1,2,3\)
2. Determinant
2.1. $2\times2$ 행렬
\[[\boldsymbol A]=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\] \[\det(\boldsymbol A) = |\boldsymbol A| = ad -bc\]
2.2. $3\times3$ 행렬
\[[\boldsymbol A]=\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\] \[\det(\boldsymbol A)=|\boldsymbol A| = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)\]
3. 랭크의 증감
Contraction: 물리량들 사이에 곱을 통해 랭크가 감소하는 경우
$a_i = \sum_{j=1}^3A_{ij}b_j\ \ \text{ with }\ i=1,2,3$
Outer product: 물리량들 사이에 곱을 통해 랭크가 증가하는 경우
$A_{ij}=a_ib_j\ \ \text{ with } i=1,2,3,\ \ \ j=1,2,3$
랭크가 유지되는 경우
$b_i=ca_i \ \ \text{ with } i=1,2,3$
4. Einstein 표기법
Einstein 합 규약에서는 한 항에 같은 첨자가 두 번 나타나면 그 첨자에 대해 합을 취한 것으로 약속한다.
벡터와 텐서는 좌표계와 무관한 물리량이고, 열벡터와 행렬은 선택한 좌표계에서 그 성분을 배열한 표현이다. 좌표계를 바꾸면 성분 행렬은 달라지지만 물리량 자체는 달라지지 않는다.
연산
성분 표현
결과
벡터 내적
$a_ib_i$
스칼라
dyadic product
$a_ib_j$
2차 텐서
텐서–벡터 곱
$A_{ij}b_j$
벡터
텐서 이중수축
$A_{ij}B_{ij}$
스칼라
예를 들어 $dW=\boldsymbol\sigma:d\boldsymbol\varepsilon$은 단위부피당 일이라는 스칼라를 만들고, $\boldsymbol t=\boldsymbol\sigma\cdot\boldsymbol n$은 면력벡터(traction vector)를 만든다. 수축되는 첨자의 수와 결과의 랭크를 확인해야 한다.