벡터와 행렬 연습문제

벡터와 행렬의 기본 연산 연습

1. 다음 두 벡터가 있다. 두 벡터간의 연산 결과를 답하시오.

\[[\boldsymbol a]=\begin{bmatrix}2\\2\\-1\end{bmatrix}\] \[[\boldsymbol b]=\begin{bmatrix}2\\-3\\1\end{bmatrix}\]

1.1. $\boldsymbol a + \boldsymbol b$

1.2. $\boldsymbol a - \boldsymbol b$

1.3. $\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b$

1.4. $\boldsymbol b - \boldsymbol a$

1.5. $\boldsymbol a \otimes \boldsymbol b$

1.6. $\boldsymbol b \otimes \boldsymbol a$

1.7. $\boldsymbol b \times \boldsymbol a$

1.8. $\boldsymbol a \times \boldsymbol b$

1.9. $|\boldsymbol a| |\boldsymbol b|$

1.10. $|\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b|$

2. 다음 두 행렬이 있다. 두 행렬간의 연산 결과를 답하시오.

\[[\boldsymbol A]=\begin{bmatrix} 1& 1& -1 \\ 3& 4& -4 \\ 3& 1& 2 \\ \end{bmatrix}\] \[[\boldsymbol B]=\begin{bmatrix} 1 & 1& -1 \\ -1 & -2& -4 \\ -2 & 2& 2\\ \end{bmatrix}\]

2.1. $\boldsymbol A+ \boldsymbol B$

2.2. $\boldsymbol A- \boldsymbol B$

2.3. $\boldsymbol B- \boldsymbol A$

2.4. $\boldsymbol A \cdot \boldsymbol B$

2.5. $\boldsymbol B \cdot \boldsymbol A$

2.6. $\boldsymbol A : \boldsymbol B$

2.7. $\boldsymbol B : \boldsymbol A$

3. 소성역학에 적용하기

3.1. 면력벡터

응력 텐서와 단위법선벡터가 다음과 같을 때 $\boldsymbol t=\boldsymbol\sigma\cdot \boldsymbol n$을 구하시오.

\[[\boldsymbol\sigma]= \begin{bmatrix} 100&20&0\\ 20&50&0\\ 0&0&30 \end{bmatrix}\ \mathrm{MPa}, \qquad [\boldsymbol n]= \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\]

3.2. 응력의 trace

문제 3.1의 응력 텐서에 대해 $\operatorname{tr}(\boldsymbol\sigma)$와 평균응력 $\sigma_m=\operatorname{tr}(\boldsymbol\sigma)/3$을 구하시오.

3.3. 단위부피당 일 증분

\[[\boldsymbol\sigma]= \begin{bmatrix}100&0\\0&50\end{bmatrix}\ \mathrm{MPa}, \qquad [d\boldsymbol\varepsilon]= \begin{bmatrix}0.001&0\\0&-0.0002\end{bmatrix}\]

일 때 $dW=\boldsymbol\sigma:d\boldsymbol\varepsilon$을 구하시오.

4. 벡터의 크기, 방향과 투영

• 이 절에서는 앞에서 주어진

  \[[\boldsymbol a]= \begin{bmatrix}2\\2\\-1\end{bmatrix}, \qquad [\boldsymbol b]= \begin{bmatrix}2\\-3\\1\end{bmatrix}\]

  를 계속 사용한다.

4.1. 벡터의 크기

• $

  \boldsymbol a

  $ 와 $

  \boldsymbol b

  $ 를 각각 구하시오.

4.2. 단위벡터

$\boldsymbol a$와 같은 방향의 단위벡터 $\widehat{\boldsymbol a}$를 구하시오.

4.3. 두 벡터 사이의 각

$\boldsymbol a$와 $\boldsymbol b$ 사이의 각 $\theta$에 대해 $\cos\theta$를 구하시오. 두 벡터가 이루는 각은 예각인가, 둔각인가?

4.4. 수직 여부 확인

다음 벡터 $\boldsymbol c$가 $\boldsymbol a$와 수직인지 내적으로 확인하시오.

\[[\boldsymbol c]=\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}\]

4.5. 벡터 투영

$\boldsymbol a$를 $\boldsymbol b$ 방향으로 투영한 벡터 $\operatorname{proj}_{\boldsymbol b}\boldsymbol a$를 구하시오.

\[\operatorname{proj}_{\boldsymbol b}\boldsymbol a =\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b} {\boldsymbol b\cdot\boldsymbol b}\boldsymbol b\]

4.6. 외적의 기하학적 의미

$\boldsymbol a$와 $\boldsymbol b$가 만드는 평행사변형의 넓이를 구하시오.

5. 행렬의 기본 성질

이 절에서는 앞에서 주어진 행렬 $\boldsymbol A$와 $\boldsymbol B$를 계속 사용한다.

5.1. 전치행렬

$\boldsymbol A^T$를 구하시오.

5.2. Trace

$\operatorname{tr}(\boldsymbol A)$와 $\operatorname{tr}(\boldsymbol B)$를 구하시오.

5.3. Determinant

$\det\boldsymbol A$와 $\det\boldsymbol B$를 구하시오. 두 행렬의 역행렬이 존재하는지도 판단하시오.

5.4. 행렬곱의 교환법칙

앞에서 구한 $\boldsymbol A\cdot \boldsymbol B$와 $\boldsymbol B\cdot \boldsymbol A$를 비교하여 행렬곱에 교환법칙이 성립하는지 설명하시오.

5.5. 단위행렬

$3\times3$ 단위행렬을 $\boldsymbol I$라 할 때 $\boldsymbol A\cdot \boldsymbol I$와 $\boldsymbol I\cdot \boldsymbol A$를 구하시오.

5.6. 대칭부분과 반대칭부분

행렬 $\boldsymbol A$를 다음과 같이 대칭부분 $\boldsymbol A^{sym}$과 반대칭부분 $\boldsymbol A^{skw}$로 분해하시오.

\[\boldsymbol A^{sym}=\frac{1}{2}(\boldsymbol A+\boldsymbol A^T), \qquad \boldsymbol A^{skw}=\frac{1}{2}(\boldsymbol A-\boldsymbol A^T)\]

6. 응력과 변형률 텐서에 적용하기

6.1. 수직응력과 전단응력 구분

다음 응력 텐서에서 수직응력 성분과 서로 독립적인 전단응력 성분을 각각 쓰시오.

\[[\boldsymbol\sigma]= \begin{bmatrix} 120&30&0\\ 30&80&10\\ 0&10&50 \end{bmatrix}\ \mathrm{MPa}\]

6.2. 임의 면의 면력벡터

문제 6.1의 응력 텐서와 $\boldsymbol n=(0,1,0)^T$에 대해 $\boldsymbol t=\boldsymbol\sigma\cdot \boldsymbol n$을 구하시오.

6.3. 면력의 수직성분과 전단성분

문제 6.2에서 구한 면력벡터를 면의 수직성분 $\boldsymbol t_n$과 전단성분 $\boldsymbol t_s$로 나누시오.

6.4. 평균응력과 편차응력

다음 응력상태의 평균응력과 편차응력 텐서를 구하시오.

\[[\boldsymbol\sigma]= \begin{bmatrix} 90&0&0\\ 0&60&0\\ 0&0&30 \end{bmatrix}\ \mathrm{MPa}\]

6.5. von Mises 등가응력

문제 6.4의 주응력을 이용하여 von Mises 등가응력을 구하시오.

\[\sigma^{VM}=\sqrt{\frac{1}{2} \left[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2 +(\sigma_3-\sigma_1)^2\right]}\]

6.6. 정수압 응력의 von Mises 응력

$\boldsymbol\sigma=100\boldsymbol I$ MPa일 때 편차응력과 von Mises 등가응력을 구하시오.

6.7. 탄성 일에 대한 이중수축

응력과 탄성변형률이 다음과 같을 때 $W=\frac{1}{2}\boldsymbol\sigma:\boldsymbol\varepsilon^{el}$을 구하시오.

\[[\boldsymbol\sigma]= \begin{bmatrix}200&0\\0&100\end{bmatrix}\ \mathrm{MPa}, \qquad \boldsymbol\varepsilon^{el}= \begin{bmatrix}0.001&0\\0&0.0005\end{bmatrix}\]