1. 열과 온도

온도는 물체의 열적 상태를 나타내는 스칼라 장변수이다. 열은 온도차 때문에 계의 경계를 통과하는 에너지이다. 열전달률 $\dot Q$의 단위는 W이고, 열유속 $q’’=\dot Q/A$의 단위는 $\mathrm{W/m^2}$이다.

2. 열전달의 세 방식

방식	주요 관계식	특징
전도	$q’’=-k\,dT/dx$	물질 내부의 온도구배
대류	$q’‘=h(T_s-T_\infty)$	표면과 움직이는 유체 사이
복사	$q’’=\varepsilon\sigma(T_s^4-T_{sur}^4)$	전자기파에 의한 전달

이 강의에서는 고체 내부의 전도를 중심으로 다룬다.

3. 푸리에의 열전도법칙

\[\boxed{q_x''=-k\frac{dT}{dx}}\]

열전도도 $k$의 단위는 $\mathrm{W/(m\,K)}$이다. 음수 부호는 열이 온도가 감소하는 방향으로 흐른다는 뜻이다.

$k=20\ \mathrm{W/(m\,K)}$, $dT/dx=-50\ \mathrm{K/m}$이면 $q_x’‘=1000\ \mathrm{W/m^2}$이고 열은 $+x$ 방향으로 흐른다.

4. 평면벽(slab)의 정상 열전도

두께 $L$, 면적 $A$, 일정한 $k$인 벽의 양면 온도가 $T_1$, $T_2$일 때 열생성이 없는 정상상태 온도분포와 열전달률은

\[T(x)=T_1+\frac{T_2-T_1}{L}x,\] \[\boxed{\dot Q=\frac{kA}{L}(T_1-T_2)}\]

이다.

5. 열저항

\[R_{cond}=\frac{L}{kA},\qquad \dot Q=\frac{T_1-T_2}{R_{cond}}\]

여러 층이 직렬로 놓이면

\[R_{total}=\sum_i\frac{L_i}{k_iA},\qquad \dot Q=\frac{T_{hot}-T_{cold}}{R_{total}}\]

이다. 열전도도가 작거나 두께가 큰 층에서 온도강하가 크게 나타난다.

전도 문제의 해석 순서

고온면과 저온면을 정하고 열의 양의 방향을 정한다.
각 층의 두께, 열전도도, 면적을 SI 단위로 바꾼다.
층별 열저항을 계산하고 직렬 저항을 더한다.
전체 온도차를 전체 열저항으로 나누어 열전달률을 구한다.
$\dot Q/A$로 열유속을 계산하고 부호가 물리적 방향과 맞는지 확인한다.

정상상태의 직렬 벽에서는 모든 층을 통과하는 열전달률이 같다. 각 층의 온도강하는 $\Delta T_i=\dot Q R_i$이므로 열저항이 큰 층에서 더 크다.

전도와 대류가 함께 있는 벽

벽의 양쪽에 유체가 흐르면 유체에서 벽 표면까지는 대류, 벽 내부에서는 전도가 일어난다. 대류 열저항은 $R_{conv}=1/(hA)$이다. 평면벽 하나를 사이에 둔 두 유체 사이의 전체 열저항은

\[R_{total}=\frac{1}{h_1A}+\frac{L}{kA}+\frac{1}{h_2A}\]

이고 $\dot Q=(T_{\infty,1}-T_{\infty,2})/R_{total}$이다.

예를 들어 $A=1\ \mathrm{m^2}$, $h_1=h_2=10\ \mathrm{W/(m^2K)}$, $L=0.02\ \mathrm m$, $k=0.5\ \mathrm{W/(mK)}$이면 $R_{total}=0.24\ \mathrm{K/W}$이다. 유체 온도차가 24 K이면 $\dot Q=100\ \mathrm W$이다. 벽에서 4 K, 양쪽 대류층에서 각각 10 K의 온도강하가 발생한다.

6. 연습 문제

$k=10\ \mathrm{W/(m\,K)}$, $dT/dx=30\ \mathrm{K/m}$일 때 열유속과 방향을 구하라.
$L=0.1\ \mathrm m$, $A=2\ \mathrm{m^2}$, $k=5\ \mathrm{W/(m\,K)}$인 벽의 열저항을 구하라.
위 벽의 양면 온도가 400 K와 300 K일 때 열전달률을 구하라.
열전달률이 50 W이고 면적이 $0.25\ \mathrm{m^2}$일 때 열유속을 구하라.
같은 재료와 면적에서 벽의 두께를 두 배로 하면 전도 열저항은 어떻게 되는가?
열전도도가 큰 재료와 작은 재료 중 단열재에 더 적합한 재료를 고르라.