1. 점도와 운동량 전달

이웃한 유체층이 다른 속도로 움직이면 층 사이에서 운동량이 전달된다. 점도는 이러한 상대 운동에 저항하는 정도이다.

\[[\mu]=\mathrm{Pa\,s}\]

$\mu$가 점도(dynamic viscosity)를 의미하며 그 SI단위는 $\mathrm{Pa\, s}$, 즉 파스칼 곱하기 초(second)이다.

2. 뉴턴의 점성법칙

유체의 $x$ 방향 속도 $v_x$가 $y$에 따라 변할 때 뉴턴 유체는

\[\boxed{\tau_{yx}=-\mu\frac{dv_x}{dy}}\]

를 따른다. 점도가 일정하고 전단응력이 속도구배에 선형 비례하는 유체를 뉴턴 유체라고 한다.

거리 $H$인 두 평판 사이에서 아래 판은 정지하고 위 판은 속도 $U$로 움직인다. 정상상태, 일차원, 압력구배가 없는 조건에서

\[\frac{d\tau_{yx}}{dy}=0,\qquad \frac{d^2v_x}{dy^2}=0\]

이다. 점착조건 $v_x(0)=0$, $v_x(H)=U$를 적용하면

\[\boxed{v_x(y)=U\frac{y}{H}},\qquad |\tau|=\mu\frac{U}{H}\]

를 얻는다. 속도분포는 선형이고 평균속도는 $U/2$이다.

정지한 두 평판이 $y=\pm H$에 있고 압력이 $x$ 방향으로 감소하면

\[0=-\frac{dp}{dx}+\mu\frac{d^2v_x}{dy^2}\]

이다. $v_x(\pm H)=0$을 적용하면

\[\boxed{v_x(y)=-\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}(H^2-y^2)}\]

이다. 속도분포는 포물선이고 중앙에서 최대이며 $\bar v=2v_{max}/3$이다.

반지름 $R$, 길이 $L$인 원관의 완전히 발달한 층류에서

\[v_z(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}(R^2-r^2)\]

이고 체적유량은

\[\boxed{Q=\frac{\pi R^4}{8\mu L}\Delta p}\]

이다. 반지름이 두 배가 되면 같은 압력차에서 유량은 16배가 된다.

두께 $H$인 액체막이 중력에 의해 수직 벽을 따라 아래로 흐른다고 하자. 아래쪽을 $x$의 양의 방향, 벽에서 액체 쪽을 $y$ 방향으로 정한다. 정상상태에서 압력구배를 무시하면 $x$ 방향 운동량 방정식은

\[\mu\frac{d^2v_x}{dy^2}+\rho g=0\]

이다. 벽에서는 점착조건 $v_x(0)=0$, 자유표면에서는 전단응력이 없으므로 $dv_x/dy|_{y=H}=0$이다. 두 조건을 적용하면

\[\boxed{v_x(y)=\frac{\rho g}{\mu}\left(Hy-\frac{y^2}{2}\right)}\]

를 얻는다. 속도는 벽에서 0이고 자유표면에서 최대이다.

\[v_{max}=\frac{\rho gH^2}{2\mu},\qquad \bar v=\frac{\rho gH^2}{3\mu}\]

이 예제는 압력 대신 중력이 유동의 구동력이 될 수 있음을 보여준다.

동일한 관과 압력차에서 점도가 커지면 유량은 작아진다. 반면 Couette 유동에서 벽의 속도를 지정하면 속도분포는 점도와 무관하지만 벽에 필요한 힘은 점도에 비례한다.

$\mu=0.5\ \mathrm{Pa\,s}$, $U=1\ \mathrm{m/s}$, $H=0.01\ \mathrm m$인 Couette 유동의 전단응력 크기를 구하라.
Couette 유동에서 $y=H/4$의 속도를 구하라.
원관의 반지름만 3배가 되면 같은 조건에서 유량은 몇 배가 되는가?
$\mu=0.10\ \mathrm{Pa\,s}$, $\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}$일 때 동점도를 구하라.
Couette 유동에서 위 판의 속도가 두 배가 되면 전단응력 크기는 어떻게 되는가?
압력 구동 평판 유동에서 벽과 중앙의 속도를 비교하라.