1. 정상상태 물질수지

화학반응이 없고 축적도 없는 일차원 정상 확산에서

\[\frac{dJ_A}{dx}=0\]

이므로 플럭스는 위치에 따라 일정하다. $D$가 일정하면 Fick의 법칙으로부터

\[\frac{d^2c_A}{dx^2}=0\]

을 얻는다.

2. 평판을 통한 확산

두께 $L$인 평판의 양면 농도가 $c_{A,1}$과 $c_{A,2}$이면

\[c_A(x)=c_{A,1}+\frac{c_{A,2}-c_{A,1}}{L}x\]

이고

\[\boxed{J_A=D\frac{c_{A,1}-c_{A,2}}{L}}\]

이다. 면적 $A$를 통과하는 몰전달률은 $\dot n_A=J_AA$이다.

예제

$D=10^{-10}\ \mathrm{m^2/s}$, $L=1\ \mathrm{mm}$, $c_{A,1}-c_{A,2}=100\ \mathrm{mol/m^3}$이면

\[J_A=10^{-5}\ \mathrm{mol/(m^2\,s)}\]

이다.

3. 원통벽을 통한 확산

길이 $L_z$, 안쪽 반지름 $r_1$, 바깥 반지름 $r_2$인 원통벽에서 방사방향 정상 확산의 몰전달률은

\[\boxed{\dot n_A= \frac{2\pi L_zD(c_{A,1}-c_{A,2})}{\ln(r_2/r_1)}}\]

이다. 원통에서는 전달면적 $2\pi rL_z$가 위치에 따라 변하므로 농도분포가 $r$에 대해 선형이 아니라 $\ln r$에 대해 선형이다.

4. 물질전달 저항

평판의 확산 저항을

\[R_m=\frac{L}{DA}\]

로 정의하면

\[\dot n_A=\frac{c_{A,1}-c_{A,2}}{R_m}\]

이다. 여러 층이 직렬로 놓이면 각 층의 저항을 더할 수 있다. 확산계수가 작은 층이 전체 전달속도를 크게 제한한다.

평판 문제 풀이 순서

두 표면의 농도와 확산거리를 확인한다.
농도 단위를 $\mathrm{mol/m^3}$로, 길이를 m로 통일한다.
농도차의 부호로 확산 방향을 먼저 판단한다.
Fick의 제1법칙으로 플럭스를 계산한다.
총 전달률이 필요하면 플럭스에 면적을 곱한다.

정상상태에서는 화학종이 내부에 축적되지 않으므로 반응이 없다면 모든 단면을 통과하는 총 몰전달률이 같다. 평판은 면적이 일정하여 플럭스도 일정하지만, 원통에서는 면적이 반지름에 따라 변하므로 플럭스가 일정하지 않을 수 있다.

두 층으로 이루어진 평판 예제

면적이 $A=1\ \mathrm{m^2}$인 두 층이 직렬로 놓여 있다. 첫 번째 층은 $L_1=1\ \mathrm{mm}$, $D_1=2\times10^{-10}\ \mathrm{m^2/s}$이고 두 번째 층은 $L_2=2\ \mathrm{mm}$, $D_2=1\times10^{-10}\ \mathrm{m^2/s}$이다. 전체 농도차가 $120\ \mathrm{mol/m^3}$이면

\[R_1=\frac{L_1}{D_1A}=5.0\times10^6\ \mathrm{s/m^3}\] \[R_2=\frac{L_2}{D_2A}=2.0\times10^7\ \mathrm{s/m^3}\]

이다. 따라서 총 몰전달률은

\[\dot n_A=\frac{120}{R_1+R_2} =4.8\times10^{-6}\ \mathrm{mol/s}\]

이다. 두 번째 층이 전체 저항의 80%를 차지하므로 전체 확산속도를 주로 제한한다. 복합재료나 산화막에서는 가장 큰 확산저항을 가진 층을 찾는 것이 중요하다.

5. 연습 문제

평판 두께가 두 배가 되면 같은 농도차에서 확산 플럭스는 어떻게 되는가?
$J_A=2\times10^{-6}\ \mathrm{mol/(m^2s)}$, $A=0.5\ \mathrm{m^2}$일 때 몰전달률을 구하라.
두 층의 저항이 각각 2와 3 $\mathrm{s/m^3}$이면 전체 저항을 구하라.
$1\ \mathrm{mm}$를 m로 바꾸시오.
농도차가 두 배가 되고 다른 조건이 같다면 정상 확산 플럭스는 몇 배가 되는가?
플럭스와 총 몰전달률의 차이를 단위와 함께 설명하라.