1. 에너지 수지

두께 $dx$, 면적 $A$인 고체 요소에 에너지 보존을 적용한다.

\[q_x''A-q_{x+dx}''A+\dot q'''A\,dx =\rho c_pA\,dx\frac{\partial T}{\partial t}\]

$\dot q’’‘$은 단위 부피당 열생성률 $\mathrm{W/m^3}$이다.

2. 열전도 방정식

푸리에 법칙을 대입하면

\[\boxed{\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t} =\frac{\partial}{\partial x}\left(k\frac{\partial T}{\partial x}\right) +\dot q'''}\]

를 얻는다. $k$가 일정하면

\[\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\frac{\partial^2T}{\partial x^2} +\frac{\dot q'''}{\rho c_p},\qquad \alpha=\frac{k}{\rho c_p}\]

이다. 열확산계수 $\alpha$의 단위는 $\mathrm{m^2/s}$이다.

3. 단순화된 경우

조건	지배방정식
정상상태, 열생성 없음	$d^2T/dx^2=0$
정상상태, 일정한 열생성	$k\,d^2T/dx^2+\dot q’’‘=0$
비정상상태, 열생성 없음	$\partial T/\partial t=\alpha\,\partial^2T/\partial x^2$

4. 경계조건과 초기조건

지정온도: $T(0,t)=T_0$
지정 열유속: $-k\,\partial T/\partial n=q_0’’$
단열 또는 대칭면: $\partial T/\partial n=0$
대류 경계: $-k\,\partial T/\partial n=h(T_s-T_\infty)$
초기조건: $T(x,0)=T_i(x)$

5. 내부 열생성 예제

두께 $2L$인 평판에서 열이 균일하게 생성되고 양면 온도가 $T_s$이면

\[\boxed{T(x)=T_s+\frac{\dot q'''}{2k}(L^2-x^2)}\]

이다. 최대온도는 대칭면 $x=0$에서 나타난다.

\[T_{max}=T_s+\frac{\dot q'''L^2}{2k}\]

방정식의 각 항이 뜻하는 것

\[\underbrace{\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}}_{\text{에너지 축적}} = \underbrace{k\frac{\partial^2T}{\partial x^2}}_{\text{전도에 의한 순입력}} + \underbrace{\dot q'''}_{\text{내부 열생성}}\]

온도구배 $\partial T/\partial x$는 열유속을 결정하고, 온도분포의 곡률 $\partial^2T/\partial x^2$은 작은 검사체적에 들어오는 열과 나가는 열의 차이를 결정한다. 정상상태라고 해서 두 항이 각각 0일 필요는 없다. 전도에 의한 순출력과 내부 열생성이 서로 같으면 온도는 시간에 따라 변하지 않는다.

다차원 열전도 방정식

직교좌표계의 3차원 열전도 방정식은 $k$가 일정할 때

\[\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t} =k\left(\frac{\partial^2T}{\partial x^2} +\frac{\partial^2T}{\partial y^2} +\frac{\partial^2T}{\partial z^2}\right)+\dot q'''\]

이다. 괄호 안은 온도의 Laplacian $\nabla^2T$이다. 판이 넓고 두께가 얇으며 양면 온도가 균일하다면 두께 방향 변화만 남겨 일차원 문제로 근사할 수 있다.

모서리, 국부적인 열원, 재료가 급격히 바뀌는 영역에서는 둘 이상의 방향으로 온도가 변할 수 있다. 해를 구하기 전에 형상과 경계조건을 보고 주요 열전달 방향을 판단해야 한다.

6. 연습 문제

$k=40$, $\rho=8000$, $c_p=500$을 SI 단위로 사용할 때 $\alpha$를 구하라.
열생성이 없는 정상 평면벽의 온도분포가 선형인 이유를 설명하라.
대칭면의 경계조건을 쓰시오.
정상상태에서 시간 미분항 $\partial T/\partial t$의 값은 얼마인가?
열생성이 없고 온도분포가 $T(x)=20x+300$일 때 $d^2T/dx^2$를 구하라.
$k$, $\rho$, $c_p$ 가운데 열확산계수의 식에 분모로 들어가는 것을 고르라.