구형 inclusion의 Eshelby tensor 유도

Kelvin Green 함수와 구면 적분을 이용한 Eshelby tensor의 계산

1. 유도의 목표와 가정

본 보충자료의 목표는 주 강의의 식 (4), 즉

\[\boxed{ S_{ijkl} =\frac{1}{15(1-\nu)} \left[ (5\nu-1)\delta_{ij}\delta_{kl} +(4-5\nu) (\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}) \right]} \tag{1}\]

을 어떻게 얻는지 설명하는 것이다. 다음을 가정한다.

식 (1)은 inclusion 내부점에 대한 Eshelby tensor다. inclusion 밖의 외부장은 위치에 따라 달라지며 식 (1)만으로 표현되지 않는다.

2. 전체 계산의 구조

유도의 핵심 흐름은 다음과 같다.

\[\boldsymbol\varepsilon^* \xrightarrow{\ \boldsymbol C\ } \boldsymbol\sigma^* \xrightarrow{\ \text{Green 함수}\ } \boldsymbol\varepsilon^c\]

고유변형률에 대응하는 eigenstress를

\[\boldsymbol\sigma^*=\boldsymbol C:\boldsymbol\varepsilon^*\]

로 정의한다. Green 함수를 적분해 얻는 Hill polarization tensor $\boldsymbol P$가 eigenstress를 구속변형률로 바꾼다.

\[\boldsymbol\varepsilon^c =\boldsymbol P:\boldsymbol\sigma^* =\boldsymbol P:\boldsymbol C:\boldsymbol\varepsilon^*\]

한편 Eshelby tensor의 정의는

\[\boldsymbol\varepsilon^c =\boldsymbol S:\boldsymbol\varepsilon^*\]

이므로

\[\boxed{\boldsymbol S=\boldsymbol P:\boldsymbol C} \tag{2}\]

이다. 따라서 문제는 구형 영역의 $\boldsymbol P$를 구한 뒤 등방 탄성텐서 $\boldsymbol C$와 축약하는 것으로 바뀐다.

3. 고유변형률을 등가 체적력으로 바꾸기

응력과 평형방정식은

\[\sigma_{ij} =C_{ijkl}(\varepsilon_{kl}-\varepsilon^*_{kl}), \qquad \sigma_{ij,j}=0\]

이다. $\chi_\Omega(\boldsymbol x)$를 inclusion 영역에서 1이고 그 밖에서 0인 특성함수라 하면 고유변형률장은

\[\varepsilon^*_{kl}(\boldsymbol x) =\varepsilon^*_{kl}\chi_\Omega(\boldsymbol x)\]

로 쓸 수 있다. 이를 평형방정식에 대입하면 Navier 방정식의 오른쪽에

\[f_i^*(\boldsymbol x) =-C_{ijkl}\varepsilon^*_{kl}\chi_{\Omega,j}\]

형태의 등가 체적력이 나타난다. $\chi_{\Omega,j}$는 계면에서만 0이 아니므로, 이는 Eshelby의 절단 사고실험에 등장하는 계면 분포력과 같은 역할을 한다.

이 등가 체적력의 도출 과정, Navier 방정식과의 관계, 특성함수의 분포미분 및 계면력의 의미는 Eigenstrain의 등가 체적력 유도 보충자료에서 자세히 설명한다.

4. Kelvin Green 함수

무한 등방 탄성체에서 단위 집중력이 만드는 변위를 나타내는 Kelvin Green 함수는

\[G_{ij}(\boldsymbol r) =\frac{1}{16\pi\mu(1-\nu)r} \left[ (3-4\nu)\delta_{ij} +\frac{r_i r_j}{r^2} \right] \tag{3}\]

이다. 여기서 $\boldsymbol r=\boldsymbol x-\boldsymbol y$, $r=|\boldsymbol r|$, $\mu$는 전단탄성계수다. 이 함수는 무한영역 Navier 연산자의 기본해이며, 등가 체적력과 convolution하면 변위장을 얻는다.

Navier 방정식에서 식 (3)을 직접 유도하는 과정과 각 텐서 항의 의미는 Kelvin Green 함수의 유도와 해석 보충자료에서 자세히 설명한다.

고유변형률이 inclusion 내부에서 일정하므로 부분적분을 수행하면 체적적분을 inclusion 경계 $\partial\Omega$에 대한 표면적분으로 바꿀 수 있다. 변위를 다시 미분하고 대칭부분을 취하면 구속변형률이 얻어진다.

5. Hill polarization tensor

Hill polarization tensor는 eigenstress를 inclusion의 구속변형률로 변환한다.

\[\varepsilon^c_{ij}=P_{ijkl}\sigma^*_{kl}.\]

내부점 $\boldsymbol x\in\Omega$에서는 다음의 Green 함수 표면적분으로 나타낼 수 있다.

\[\begin{aligned} P_{ijkl}(\boldsymbol x) =\frac{1}{4}\int_{\partial\Omega} \big[& (G_{ki,j}+G_{kj,i})n_l\\ &+(G_{li,j}+G_{lj,i})n_k \big]\,dS_y. \end{aligned} \tag{4}\]

앞쪽 첨자 $i,j$는 구속변형률의 성분을, 뒤쪽 첨자 $k,l$은 eigenstress의 성분을 나타낸다. 계수 $1/4$는 변형률에 대한 $i,j$ 대칭화와 대칭 eigenstress에 대한 $k,l$ 대칭화에서 나온다.

Green 함수 convolution에서 식 (4)를 얻는 전체 과정은 Hill polarization tensor의 표면적분 유도 보충자료에서 자세히 설명한다.

구형 inclusion의 반지름을 $a$라 하고 구의 중심을 원점으로 둔다. 계면 위의 source point에서는 바깥쪽 단위법선 $\boldsymbol n$과 위치벡터가 나란하므로 $\boldsymbol y=a\boldsymbol n$이다. Polarization tensor를 구의 중심에서 평가하기 위해 field point를 $\boldsymbol x=\boldsymbol0$으로 선택하면

\[\boldsymbol y=a\boldsymbol n, \qquad dS_y=a^2d\Omega, \qquad \boldsymbol r=\boldsymbol x-\boldsymbol y=-a\boldsymbol n\]

이다. 여기서 $d\Omega$는 단위구의 미소 입체각(solid angle)이다. 평면에서 두 반직선 사이의 벌어진 정도를 각도로 측정하듯이, 3차원에서는 구의 중심에서 바라본 미소면이 차지하는 방향의 범위를 입체각으로 측정한다. 중심에서 계면의 미소면 $dS_y$를 향해 가는 반직선들을 그리면 매우 작은 원뿔이 만들어지며, 이 원뿔이 단위구 표면에서 잘라 내는 면적이 바로 $d\Omega$다.

반지름 $a$인 구와 단위구에서 같은 방향 범위를 차지하는 미소면은 닮음관계에 있으므로 면적이 반지름의 제곱에 비례한다. 따라서

\[d\Omega=\frac{dS_y}{a^2}, \qquad dS_y=a^2d\Omega\]

가 된다. 즉 $d\Omega$는 길이나 면적의 차원을 갖지 않는 무차원량이며, 단위는 steradian이다. 구면좌표에서 극각을 $\theta$, 방위각을 $\phi$라고 하면

\[d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\phi, \qquad dS_y=a^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi\]

로 쓸 수 있다. 전체 구면이 차지하는 입체각은

\[\int_{S^2}d\Omega =\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \sin\theta\,d\theta\,d\phi =4\pi\]

이다. 여기서 inclusion 영역을 나타내는 $\Omega$와 미소 입체각 기호 $d\Omega$는 같은 그리스 문자를 사용하지만 서로 다른 개념임에 유의해야 한다.

구형 inclusion 내부에서는 $\boldsymbol P$가 위치에 무관하므로 중심에서 계산한 값이 모든 내부점에 적용된다.

구형 inclusion에서 중심의 field point, 계면의 source point, 바깥쪽 법선 및 상대위치벡터의 관계

6. 구면 적분의 계산

Kelvin Green 함수를 미분하고 구의 중심에서 (\boldsymbol r=-a\boldsymbol n), (dS_y=a^2d\Omega)를 대입하면 식 (4)는

\[\begin{aligned} P_{ijkl}=\frac14\int_{S^2}\big\{& (\alpha-\beta)( \delta_{ki}n_jn_l+\delta_{kj}n_in_l +\delta_{li}n_jn_k+\delta_{lj}n_in_k)\\ &-4\beta\delta_{ij}n_kn_l +12\beta n_in_jn_kn_l \big\}\,d\Omega, \end{aligned}\] \[\alpha=\frac{\lambda+3\mu}{8\pi\mu(\lambda+2\mu)}, \qquad \beta=\frac{\lambda+\mu}{8\pi\mu(\lambda+2\mu)}\]

로 정리된다. 이때 Green 함수 미분의 (a^{-2})와 면적요소의 (a^2)가 소거되며, 계산에 필요한 구면 모멘트는 다음 두 식이다.

\[\int_{S^2}n_i n_j\,d\Omega =\frac{4\pi}{3}\delta_{ij} \tag{5}\] \[\int_{S^2}n_i n_j n_k n_l\,d\Omega =\frac{4\pi}{15} (\delta_{ij}\delta_{kl} +\delta_{ik}\delta_{jl} +\delta_{il}\delta_{jk}) \tag{6}\]

Kelvin Green 함수의 미분, (a^{-2})의 소거, 회전 불변성을 이용한 식 (5)–(6)의 유도는 Kelvin Green 함수 미분과 구면 모멘트 적분 보충자료에서 자세히 설명한다.

식 (5)–(6)을 대입해 정리하면 구형 inclusion의 polarization tensor는

\[\boxed{ P_{ijmn} =\frac{1}{30\mu(\lambda+2\mu)} \left[ -2(\lambda+\mu)\delta_{ij}\delta_{mn} +(3\lambda+8\mu) (\delta_{im}\delta_{jn}+\delta_{in}\delta_{jm}) \right]} \tag{7}\]

이 된다. 식 (7)은 구의 반지름 (a)와 무관하며, 구면의 회전대칭성 때문에 두 개의 등방 4계 텐서 조합으로 표현된다.

7. Eshelby tensor 계산

등방 탄성텐서는

\[C_{mnkl} =\lambda\delta_{mn}\delta_{kl} +\mu(\delta_{mk}\delta_{nl}+\delta_{ml}\delta_{nk}) \tag{8}\]

이다. 계산을 간결하게 하기 위해 식 (7)을

\[P_{ijmn} =A\delta_{ij}\delta_{mn} +B(\delta_{im}\delta_{jn}+\delta_{in}\delta_{jm})\]

로 쓰면

\[A=-\frac{\lambda+\mu}{15\mu(\lambda+2\mu)}, \qquad B=\frac{3\lambda+8\mu}{30\mu(\lambda+2\mu)}\]

이다. 식 (2), 즉 $S_{ijkl}=P_{ijmn}C_{mnkl}$을 계산할 때 필요한 축약은

\[\delta_{mn}\delta_{mn}=3, \qquad (\delta_{im}\delta_{jn}+\delta_{in}\delta_{jm})\delta_{mn} =2\delta_{ij}\]

및

\[\begin{aligned} (&\delta_{im}\delta_{jn}+\delta_{in}\delta_{jm}) (\delta_{mk}\delta_{nl}+\delta_{ml}\delta_{nk})\\ &=2(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}) \end{aligned}\]

이다. 따라서

\[\begin{aligned} S_{ijkl} =&\left[A(3\lambda+2\mu)+2\lambda B\right] \delta_{ij}\delta_{kl}\\ &+2\mu B (\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}). \end{aligned} \tag{9}\]

$A$와 $B$를 대입하면

\[\boxed{ S_{ijkl} =\frac{3\lambda-2\mu}{15(\lambda+2\mu)} \delta_{ij}\delta_{kl} +\frac{3\lambda+8\mu}{15(\lambda+2\mu)} (\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk})} \tag{10}\]

을 얻는다.

8. Lamé 상수에서 Poisson 비로 변환

등방 탄성상수 관계

\[\lambda=\frac{2\mu\nu}{1-2\nu}, \qquad \lambda+2\mu=\frac{2\mu(1-\nu)}{1-2\nu}\]

를 식 (10)에 대입하면

\[\frac{3\lambda-2\mu}{15(\lambda+2\mu)} =\frac{5\nu-1}{15(1-\nu)}\]

및

\[\frac{3\lambda+8\mu}{15(\lambda+2\mu)} =\frac{4-5\nu}{15(1-\nu)}\]

를 얻는다. 따라서 식 (10)은

\[S_{ijkl} =\frac{1}{15(1-\nu)} \left[ (5\nu-1)\delta_{ij}\delta_{kl} +(4-5\nu) (\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}) \right]\]

이 되며, 이것이 주 강의의 식 (4)다.

9. 결과 검산

9.1. 텐서 대칭성

변형률과 고유변형률이 대칭이므로

\[S_{ijkl}=S_{jikl}=S_{ijlk}\]

를 만족해야 한다. 식 (1)은 이 minor symmetry를 만족한다. 일반적으로 Eshelby tensor는 탄성계수 텐서와 달리 major symmetry $S_{ijkl}=S_{klij}$를 반드시 만족하는 것은 아니지만, 등방성 구형 inclusion의 식 (1)은 특별히 major symmetry도 만족한다.

9.2. 독립 성분

식 (1)에서 대표 성분은

\[S_{1111}=\frac{7-5\nu}{15(1-\nu)}, \qquad S_{1122}=\frac{5\nu-1}{15(1-\nu)}, \qquad S_{1212}=\frac{4-5\nu}{15(1-\nu)}\]

이다. 또한 $S_{1111}=S_{1122}+2S_{1212}$가 성립한다.

9.3. 체적 고유변형률

$\varepsilon^*{kl}=\varepsilon_0\delta{kl}$을 대입하면

\[\varepsilon^c_{ij} =S_{ijkk}\varepsilon_0 =\frac{1+\nu}{3(1-\nu)} \varepsilon_0\delta_{ij}.\]

즉 체적모드의 Eshelby 계수는

\[s_V=\frac{1+\nu}{3(1-\nu)} =\frac{3K}{3K+4\mu}\]

이며 주 강의의 수치 예제와 일치한다.

9.4. 편차 고유변형률

$\operatorname{tr}(\boldsymbol\varepsilon^)=0$이면 $\delta_{kl}\varepsilon^_{kl}=0$이므로 첫 번째 항은 사라진다. 따라서

\[\boldsymbol\varepsilon^c =\frac{2(4-5\nu)}{15(1-\nu)} \boldsymbol\varepsilon^*\]

이며 편차모드의 계수는

\[s_D=\frac{2(4-5\nu)}{15(1-\nu)}\]

이다.

10. 이 유도에서 생략한 부분

본 자료는 식 (4)의 구조와 계수 계산에 초점을 맞추기 위해 다음의 긴 계산은 중간결과로 정리하였다.

이 단계들을 생략해도 핵심 논리는 분명하다. 구의 회전대칭성이 $\boldsymbol P$를 두 개의 등방 텐서로 제한하고, 구면의 2차 및 4차 방향모멘트가 각각 $1/3$과 $1/15$ 계수를 만들며, 마지막으로 $\boldsymbol S=\boldsymbol P:\boldsymbol C$를 계산하면 식 (1)이 나온다.

11. 연습 문제

문제 1

식 (5)를 $i=j$로 축약하여 계수 $4\pi/3$을 확인하시오.

문제 2

식 (7)의 차원을 확인하고 구의 반지름 $a$가 결과에 나타나지 않는 이유를 설명하시오.

문제 3

$S_{1212}$를 식 (1)에서 직접 구하시오.

문제 4

$\nu=0.30$일 때 $s_V$와 $s_D$를 계산하시오.

참고문헌

  1. J. D. Eshelby, “The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related problems,” Proceedings of the Royal Society A, 241, 376–396 (1957). DOI: 10.1098/rspa.1957.0133
  2. T. Mura, Micromechanics of Defects in Solids, 2nd ed., Martinus Nijhoff Publishers (1987).

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