구형 inclusion의 Hill polarization tensor 계산에 필요한 미분과 등방 구면 적분의 상세 유도
구형 inclusion의 Eshelby tensor 유도 자료의 6절에서는 Kelvin Green 함수를 미분한 결과와 구면 모멘트 적분 공식을 사용한다. 이 보충자료에서는 다음 두 계산을 자세히 유도한다.
Kelvin Green 함수를
\[G_{pq}(\boldsymbol r) =\alpha\frac{\delta_{pq}}{r} +\beta\frac{r_p r_q}{r^3}, \qquad \alpha=\frac{\lambda+3\mu}{8\pi\mu(\lambda+2\mu)}, \qquad \beta=\frac{\lambda+\mu}{8\pi\mu(\lambda+2\mu)}\]로 쓰자. 여기서 $p,q$는 Green 함수 성분을 나타내는 자유첨자이고, $a$는 구형 inclusion의 반지름이다. 첨자와 반지름을 구별하기 위해 성분 첨자로 $a,b$를 사용하지 않는다.
$\boldsymbol r=\boldsymbol x-\boldsymbol y$이고 source point $\boldsymbol y$를 고정하면 $r_m=x_m-y_m$이므로
\[\frac{\partial r_m}{\partial x_j}=\delta_{mj}.\]한편 $r$은 벡터 $\boldsymbol r$의 크기이므로
\[r=\lVert\boldsymbol r\rVert=(r_mr_m)^{1/2}.\]여기서 $m$은 합산되는 더미첨자이다. 연쇄법칙과 $\partial(r_mr_m)/\partial x_j=2r_m\delta_{mj}=2r_j$를 이용하면
\[\frac{\partial r}{\partial x_j} =\frac12(r_mr_m)^{-1/2}(2r_j) =\frac{r_j}{r}\]을 얻는다. 따라서
\[\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{1}{r}\right) =-r^{-2}\frac{\partial r}{\partial x_j} =-\frac{r_j}{r^3}.\]두 번째 항은 $r_pr_q/r^3=r_pr_qr^{-3}$로 쓴 뒤 곱의 미분법을 적용한다.
\[\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{r_p r_q}{r^3}\right) &=\frac{\partial r_p}{\partial x_j}r_qr^{-3} +r_p\frac{\partial r_q}{\partial x_j}r^{-3} +r_pr_q\frac{\partial r^{-3}}{\partial x_j}\\ &=\delta_{pj}r_qr^{-3} +r_p\delta_{qj}r^{-3} -3r_pr_qr^{-4}\frac{\partial r}{\partial x_j}\\ &=\frac{\delta_{pj}r_q+\delta_{qj}r_p}{r^3} -3\frac{r_pr_qr_j}{r^5}. \end{aligned}\]그러므로
\[G_{pq,j} =-\alpha\delta_{pq}\frac{r_j}{r^3} +\beta\frac{\delta_{pj}r_q+\delta_{qj}r_p}{r^3} -3\beta\frac{r_pr_qr_j}{r^5}.\]구의 중심을 field point로 택하면 $\boldsymbol r=-a\boldsymbol n$이다. 따라서 $r_p=-an_p$, $r_q=-an_q$, $r=\lVert\boldsymbol r\rVert=a$이고
\[G_{pq,j} =\frac{1}{a^2}\left[ \alpha\delta_{pq}n_j -\beta(\delta_{pj}n_q+\delta_{qj}n_p) +3\beta n_pn_qn_j \right].\]Hill polarization tensor의 표면적분에 필요한 조합은
\[\begin{aligned} G_{ki,j}+G_{kj,i} =\frac{1}{a^2}\big[& (\alpha-\beta)(\delta_{ki}n_j+\delta_{kj}n_i) -2\beta\delta_{ij}n_k +6\beta n_in_jn_k\big],\\ G_{li,j}+G_{lj,i} =\frac{1}{a^2}\big[& (\alpha-\beta)(\delta_{li}n_j+\delta_{lj}n_i) -2\beta\delta_{ij}n_l +6\beta n_in_jn_l\big] \end{aligned}\]이다. 첫째 식에 $n_l$, 둘째 식에 $n_k$를 곱하고 $dS_y=a^2d\Omega$를 사용하면 $a^{-2}$와 $a^2$가 소거되어
\[\begin{aligned} P_{ijkl}=\frac14\int_{S^2}\big\{& (\alpha-\beta)( \delta_{ki}n_jn_l+\delta_{kj}n_in_l +\delta_{li}n_jn_k+\delta_{lj}n_in_k)\\ &-4\beta\delta_{ij}n_kn_l +12\beta n_in_jn_kn_l \big\}\,d\Omega \end{aligned}\]를 얻는다. 따라서 실제로 필요한 적분은 $n_in_j$의 2차 구면 모멘트와 $n_in_jn_kn_l$의 4차 구면 모멘트뿐이다.
라고 하자. 구면에는 선호방향이 없으므로 어떤 방향을 좌표축으로 선택하더라도 $I_{ij}$의 성분 형태가 같아야 한다. 여기서 회전은 물체를 실제로 돌리는 능동회전이 아니라, 동일한 텐서를 회전된 좌표계에서 표현하는 수동적 좌표계 회전이다. 좌표변환을 $\boldsymbol Q\in SO(3)$1로 나타내면
\[I'_{ij}=Q_{ip}Q_{jq}I_{pq}, \qquad \boldsymbol I'=\boldsymbol Q\cdot \boldsymbol I\cdot \boldsymbol Q^{\mathsf T}.\]단위구와 $d\Omega$는 좌표축 방향에 의존하지 않으므로 모든 수동적 좌표계 회전에 대해 $\boldsymbol I’=\boldsymbol I$이어야 한다. $\boldsymbol I$는 대칭텐서이므로 세 고유방향과 세 고유값을 갖는다. 고유값이 서로 다르면 해당 고유방향이 다른 방향과 구별되는 선호방향이 된다. 따라서 세 고유값은 모두 같은 값 $A$이고
\[I_{ij}=A\delta_{ij}\]이다. 양변을 축약하면
\[I_{ii}=\int_{S^2}n_in_i\,d\Omega =\int_{S^2}1\,d\Omega=4\pi, \qquad A\delta_{ii}=3A\]이므로 $A=4\pi/3$이다. 따라서
\[\int_{S^2}n_in_j\,d\Omega=\frac{4\pi}{3}\delta_{ij}.\]$i\ne j$인 성분은 한 좌표의 부호를 반전하는 대칭점끼리 상쇄되어 0이 된다.
도 좌표축의 방향을 바꾸어도 성분 배열이 같은 등방 4차 텐서이다. 등방 텐서는 특정 방향을 나타내는 벡터를 포함할 수 없으므로, 네 자유첨자를 방향과 무관하게 연결하려면 Kronecker delta 두 개를 사용해야 한다. 가능한 기본형은
\[\delta_{ij}\delta_{kl}, \qquad \delta_{ik}\delta_{jl}, \qquad \delta_{il}\delta_{jk}\]의 세 가지뿐이다.2 따라서 가장 일반적인 등방 4차 텐서는
\[I_{ijkl} =B_1\delta_{ij}\delta_{kl} +B_2\delta_{ik}\delta_{jl} +B_3\delta_{il}\delta_{jk}\]이다. 회전 불변성만으로는 세 계수가 같아야 할 필요가 없다. 그러나 $n_in_jn_kn_l$은 네 첨자의 어떠한 순열에도 변하지 않는 완전대칭을 가지므로 $B_1=B_2=B_3=B$이고
\[I_{ijkl}=B(\delta_{ij}\delta_{kl} +\delta_{ik}\delta_{jl} +\delta_{il}\delta_{jk})\]로 쓸 수 있다. $i=j$, $k=l$로 두 번 축약하면
\[I_{iikk}=\int_{S^2}(n_in_i)(n_kn_k)\,d\Omega=4\pi\]이고
\[B(\delta_{ii}\delta_{kk} +\delta_{ik}\delta_{ik} +\delta_{ik}\delta_{ki}) =B(9+3+3)=15B\]이므로 $B=4\pi/15$이다. 따라서
\[\int_{S^2}n_in_jn_kn_l\,d\Omega =\frac{4\pi}{15}(\delta_{ij}\delta_{kl} +\delta_{ik}\delta_{jl} +\delta_{il}\delta_{jk}).\]$SO(3)$는 3차원 공간의 특수 직교군(special orthogonal group)을 뜻한다. $\boldsymbol Q\in SO(3)$는 $\boldsymbol Q^{\mathsf T}\cdot \boldsymbol Q=\boldsymbol 1$과 $\det\boldsymbol Q=+1$을 동시에 만족한다는 의미이다. 첫째 조건은 길이와 각도가 보존됨을 뜻하고, 둘째 조건은 거울반사를 제외한다. 따라서 $\boldsymbol Q$는 반사를 포함하지 않는 순수한 3차원 좌표계 회전을 나타낸다. ↩
먼저 $i$와 짝을 이룰 첨자를 고르면 $j$, $k$, $l$의 세 가지 선택지가 있다. $i$의 짝이 정해지면 남은 두 첨자는 자동으로 한 쌍이 되므로 $(ij)(kl)$, $(ik)(jl)$, $(il)(jk)$를 얻는다. 쌍 안의 순서나 두 쌍의 순서를 바꾸어도 새로운 조합은 생기지 않는다. 예를 들어 $\delta_{ji}\delta_{lk}=\delta_{ij}\delta_{kl}$인데, 이는 Kronecker delta가 대칭이고 스칼라 곱의 순서는 결과에 영향을 주지 않기 때문이다. ↩