Green 함수와 등가 체적력으로부터 Hill polarization tensor의 표면적분 표현을 얻는 과정
구형 inclusion의 Eshelby tensor를 계산할 때 Hill polarization tensor는
\[\varepsilon^c_{ij}=P_{ijkl}\sigma^*_{kl}\]로 eigenstress와 구속변형률을 연결한다. 이 자료에서는 Green 함수에 의한 변위 표현에서 출발하여 $P_{ijkl}$의 표면적분식이 어떻게 나오며, 식 앞의 계수가 왜 $1/4$인지 설명한다. 무한하고 균질한 등방성 선형탄성체, 균일한 inclusion eigenstrain 및 완전접합을 가정한다.
Polarization tensor의 표면적분 표현을 단계별로 유도한다. 먼저 이 절에서 반복해서 사용하는 두 위치벡터를 구분하자.
두 점을 연결하는 상대위치벡터는
\[\boldsymbol r=\boldsymbol x-\boldsymbol y\]이며, Green 함수 $G_{ip}(\boldsymbol x-\boldsymbol y)$는 $\boldsymbol y$에 가한 $p$방향 단위력이 $\boldsymbol x$에서 만드는 $i$방향 변위를 뜻한다. 또한 $\boldsymbol n(\boldsymbol y)$과 $dS_y$는 각각 source point $\boldsymbol y$에서의 바깥쪽 단위법선과 미소면적이다. 이후의 표기
\[G_{ip,j} =\frac{\partial G_{ip}(\boldsymbol x-\boldsymbol y)}{\partial x_j}\]에서 쉼표 뒤의 첨자는 적분변수 $\boldsymbol y$가 아니라 field point $\boldsymbol x$에 대한 미분을 나타낸다.
이제 inclusion 내부의 일정한 eigenstress를 $\sigma^*_{pq}$라고 하면, 앞 절의 등가 체적력은 계면에 집중된
\[f_p^{\mathrm{eq}}(\boldsymbol y) =\sigma^*_{pq}n_q(\boldsymbol y)\delta_{\partial\Omega}(\boldsymbol y)\]로 쓸 수 있다. Green 함수와 등가 체적력의 convolution은
\[u_i(\boldsymbol x) =\int_V G_{ip}(\boldsymbol x-\boldsymbol y) f_p^{\mathrm{eq}}(\boldsymbol y)\,dV_y\]이다. 이 적분이 변위를 주는 이유는 Green 함수의 정의와 선형탄성의 중첩원리에서 알 수 있다. $G_{ip}(\boldsymbol x-\boldsymbol y)$는 $\boldsymbol y$에서 $p$방향으로 작용하는 단위 집중력이 $\boldsymbol x$에 만드는 $i$방향 변위다. Source point $\boldsymbol y$ 주위의 미소체적 $dV_y$에 작용하는 등가 힘은
\[dF_p=f_p^{\mathrm{eq}}(\boldsymbol y)\,dV_y\]이므로, 이 미소 힘이 만드는 변위 증분은
\[du_i(\boldsymbol x) =G_{ip}(\boldsymbol x-\boldsymbol y)dF_p =G_{ip}(\boldsymbol x-\boldsymbol y) f_p^{\mathrm{eq}}(\boldsymbol y)\,dV_y\]이다. 선형탄성에서는 서로 다른 위치의 하중이 만드는 변위를 그대로 더할 수 있다. 따라서 모든 source point $\boldsymbol y$의 변위 증분을 적분하면 위의 $u_i$가 된다.
같은 사실을 Navier 방정식으로도 확인할 수 있다. Navier 연산자를
\[\mathcal L_{mi} =\mu\delta_{mi}\nabla^2 +(\lambda+\mu)\frac{\partial^2}{\partial x_m\partial x_i}\]라고 쓰면, 현재 부호 관례에서 Green 함수는
\[\mathcal L_{mi}^{(\boldsymbol x)} G_{ip}(\boldsymbol x-\boldsymbol y) =-\delta_{mp}\delta(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\]를 만족한다. 위의 적분 표현에 $\mathcal L_{mi}^{(\boldsymbol x)}$를 작용시키면
\[\begin{aligned} \mathcal L_{mi}^{(\boldsymbol x)}u_i(\boldsymbol x) &=\int_V \mathcal L_{mi}^{(\boldsymbol x)}G_{ip}(\boldsymbol x-\boldsymbol y) f_p^{\mathrm{eq}}(\boldsymbol y)\,dV_y\\ &=-\int_V\delta_{mp}\delta(\boldsymbol x-\boldsymbol y) f_p^{\mathrm{eq}}(\boldsymbol y)\,dV_y\\ &=-f_m^{\mathrm{eq}}(\boldsymbol x). \end{aligned}\]즉 이 적분으로 얻은 변위는
\[\mathcal L_{mi}u_i+f_m^{\mathrm{eq}}=0\]이라는 원래의 평형방정식을 정확히 만족한다. Green 함수는 Navier 연산자의 역연산자 역할을 하는 셈이다. 또한 무한하고 균질한 재료에서는 응답이 $\boldsymbol x$와 $\boldsymbol y$ 각각이 아니라 두 점의 차이 $\boldsymbol x-\boldsymbol y$에만 의존하므로, 이 적분을 특별히 convolution이라고 부른다.
이제 surface delta의 성질을 사용하면 체적적분이 계면의 표면적분으로 바뀐다.
\[u_i(\boldsymbol x) =\int_{\partial\Omega} G_{ip}(\boldsymbol x-\boldsymbol y) \sigma^*_{pq}n_q(\boldsymbol y)\,dS_y.\]균일한 eigenstrain과 일정한 탄성계수를 가정했으므로 $\sigma^*_{pq}$는 $\boldsymbol y$에 무관한 상수이며 적분 밖으로 꺼낼 수 있다. 따라서
\[u_i(\boldsymbol x) =\left[ \int_{\partial\Omega} G_{ip}(\boldsymbol x-\boldsymbol y)n_q\,dS_y \right]\sigma^*_{pq}.\]구속변형률은 변위 gradient의 대칭부분이므로
\[\varepsilon^c_{ij} =\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})\]이다. 여기서 $u_{i,j}$는 field point의 좌표 $x_j$에 대한 $u_i$의 미분,
\[u_{i,j}=\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\]을 뜻한다. 표면적분에서 적분변수는 source point $\boldsymbol y$다. 따라서 $n_q(\boldsymbol y)$, $dS_y$ 및 적분영역 $\partial\Omega$는 field point $\boldsymbol x$를 움직여도 변하지 않는다. $\boldsymbol x$에 의존하는 항은 $G_{ip}(\boldsymbol x-\boldsymbol y)$뿐이므로 미분을 적분 안으로 옮기면
\[\begin{aligned} u_{i,j}(\boldsymbol x) &=\frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \int_{\partial\Omega} G_{ip}(\boldsymbol x-\boldsymbol y)n_q\,dS_y \right]\sigma^*_{pq}\\ &=\int_{\partial\Omega} \frac{\partial G_{ip}(\boldsymbol x-\boldsymbol y)}{\partial x_j} n_q\,dS_y\,\sigma^*_{pq}\\ &=\int_{\partial\Omega} G_{ip,j}(\boldsymbol x-\boldsymbol y)n_q\,dS_y\,\sigma^*_{pq}. \end{aligned}\]따라서 $G_{ip,j}$는 새로운 Green 함수가 아니라 기존 $G_{ip}$를 관찰점 좌표 $x_j$로 미분한 것이다. 마찬가지로 먼저 변위의 자유첨자 $i$를 $j$로 바꾸면
\[u_j(\boldsymbol x) =\left[ \int_{\partial\Omega} G_{jp}(\boldsymbol x-\boldsymbol y)n_q\,dS_y \right]\sigma^*_{pq}\]이고, 이를 $x_i$로 미분하면
\[u_{j,i}(\boldsymbol x) =\int_{\partial\Omega} G_{jp,i}(\boldsymbol x-\boldsymbol y)n_q\,dS_y\,\sigma^*_{pq}\]를 얻는다. 즉 $G_{ip,j}$는 $u_{i,j}$에서, $G_{jp,i}$는 $u_{j,i}$에서 각각 나타난다. 이 두 식을 변형률 정의에 대입하면
\[\varepsilon^c_{ij} =\frac{1}{2}\int_{\partial\Omega} \left(G_{ip,j}+G_{jp,i}\right)n_q\,dS_y\, \sigma^*_{pq}\]를 얻는다. 이 식만으로도 eigenstress에서 구속변형률로 가는 선형 관계가 보인다. 다만 eigenstress는 대칭텐서이므로 $\sigma^_{pq}=\sigma^_{qp}$이다. 따라서 그 앞의 계수에서 $p$와 $q$를 바꾼 식을 평균해도 contraction의 값은 변하지 않는다.
\[\begin{aligned} \varepsilon^c_{ij} =\frac{1}{4}\int_{\partial\Omega} \big[& (G_{ip,j}+G_{jp,i})n_q\\ &+(G_{iq,j}+G_{jq,i})n_p \big]\,dS_y\,\sigma^*_{pq}. \end{aligned}\]이 평균은 polarization tensor가 마지막 두 첨자에 대해 $P_{ijpq}=P_{ijqp}$의 대칭성을 명시적으로 갖게 한다. 이제 더미 첨자 $p,q$를 $k,l$로 바꾸고, 등방성 무한체 Green 함수의 상호대칭성 $G_{ij}=G_{ji}$를 사용하면
\[\varepsilon^c_{ij}=P_{ijkl}\sigma^*_{kl}\]에서 polarization tensor를 다음과 같이 정의할 수 있다.
\[\begin{aligned} P_{ijkl}(\boldsymbol x) =\frac{1}{4}\int_{\partial\Omega} \big[& (G_{ki,j}+G_{kj,i})n_l\\ &+(G_{li,j}+G_{lj,i})n_k \big]\,dS_y. \end{aligned} \tag{4}\]식 (4)의 앞쪽 첨자 $i,j$는 결과인 구속변형률의 성분을, 뒤쪽 첨자 $k,l$은 입력인 eigenstress의 성분을 나타낸다. 계수 $1/4$는 변형률을 만들 때 $i,j$를 대칭화하여 생기는 $1/2$와 대칭 eigenstress에 맞춰 $k,l$을 다시 대칭화하여 생기는 $1/2$의 곱이다. $n_i$는 inclusion 경계의 바깥쪽 단위법선이다.
Green 함수의 부호를 정의하는 방식에 따라 중간식의 부호가 반대로 보일 수 있지만, 등가 체적력, Green 함수 및 법선의 정의를 일관되게 사용하면 식 (2)의 $\boldsymbol S=\boldsymbol P:\boldsymbol C$와 같은 최종 관계를 얻는다.
전체 과정은 다음과 같이 정리할 수 있다.
\[\text{eigenstress} \longrightarrow \text{계면의 등가 체적력} \longrightarrow \text{Green 함수에 의한 변위} \longrightarrow \text{변위 gradient의 대칭부분} \longrightarrow \boldsymbol P.\]Surface delta는 하중의 위치를 inclusion 계면으로 제한하고, Green 함수는 각 계면 점하중의 변위응답을 제공한다. 이후 $i,j$와 $k,l$을 각각 대칭화하면 대칭 변형률과 대칭 응력 사이를 연결하는 4차 polarization tensor가 얻어진다.