1. 비정상상태

고체의 온도가 시간에 따라 변하면 축적항을 포함해야 한다.

\[\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\nabla^2T\]

온도장을 구하려면 초기조건(initial condition)과 경계조건(boundary condition)이 모두 필요하다.

2. 열확산 시간척도

열이 거리 $L$만큼 퍼지는 데 필요한 대표 시간은

\[t_c\sim\frac{L^2}{\alpha}\]

이다. 같은 길이에서 $\alpha$가 큰 재료일수록 온도 변화가 내부로 빠르게 전달된다. Fourier 수는 무차원 시간이다.

\[\mathrm{Fo}=\frac{\alpha t}{L^2}\]

3. 집중용량법

물체 내부 온도차가 무시할 만큼 작으면 전체 물체를 하나의 온도 $T(t)$로 나타낼 수 있다. 대류로 냉각되는 물체의 에너지 수지는

\[\rho c_pV\frac{dT}{dt}=-hA_s(T-T_\infty)\]

이고 해는

\[\boxed{\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} =\exp\left(-\frac{hA_s}{\rho c_pV}t\right)}\]

이다.

4. 반무한고체

가열 또는 냉각의 영향이 아직 반대쪽 경계에 도달하지 않은 두꺼운 고체를 반무한고체로 근사할 수 있다. 처음 온도가 $T_i$이고 $t>0$에서 표면온도가 $T_s$로 갑자기 바뀌어 유지되면

\[\boxed{\frac{T(x,t)-T_s}{T_i-T_s} =\operatorname{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right)}\]

이다. 온도 변화가 침투한 거리의 크기는 대략 $\sqrt{\alpha t}$에 비례한다.

from math import erf, sqrt

alpha = 1.0e-5
x = 0.02
t = 100.0
T_initial = 300.0
T_surface = 500.0

eta = x/(2.0*sqrt(alpha*t))
temperature = T_surface + (T_initial - T_surface)*erf(eta)
print(temperature)

두 해를 구분하는 기준

집중용량법은 물체 내부의 온도를 하나의 값으로 볼 수 있을 때 사용한다. 반면 반무한고체 해는 표면 근처에 온도구배가 생기지만 열의 영향이 아직 반대쪽 경계에 도달하지 않았을 때 사용한다.

근사	내부 온도구배	대표 판단 기준
집중용량법	무시	$\mathrm{Bi}<0.1$
반무한고체	고려	열 침투깊이가 고체 두께보다 충분히 작음

계산 결과는 $t=0$의 초기조건과 표면의 경계조건을 만족하는지 확인해야 한다.

집중용량법 계산 예제

질량이 $2\ \mathrm{kg}$이고 비열이 $500\ \mathrm{J/(kgK)}$인 금속 물체가 $200\ ^\circ\mathrm C$에서 시작한다. 표면적은 $0.10\ \mathrm{m^2}$이고 $20\ ^\circ\mathrm C$ 공기 중에서 $h=20\ \mathrm{W/(m^2K)}$로 냉각된다. 내부 온도차를 무시할 수 있다면 시간상수는

\[\tau=\frac{mc_p}{hA_s} =\frac{2(500)}{20(0.10)}=500\ \mathrm s\]

이다. $t=500\ \mathrm s$에서 무차원 온도는 $e^{-1}\approx0.368$이므로

\[T=20+(200-20)(0.368)\approx86.2\ ^\circ\mathrm C\]

이다. 시간상수는 초기 온도차가 약 36.8%로 줄어드는 데 걸리는 시간이다.

5. 연습 문제

$L=0.01\ \mathrm m$, $\alpha=10^{-5}\ \mathrm{m^2/s}$일 때 $L^2/\alpha$를 구하라.
집중용량법에서 $T_i=400$ K, $T_\infty=300$ K이고 무차원 온도가 0.5이면 $T$를 구하라.
반무한고체에서 시간이 네 배가 되면 대표 침투깊이는 몇 배가 되는가?
$\alpha=2\times10^{-5}\ \mathrm{m^2/s}$, $t=5\ \mathrm s$일 때 $\sqrt{\alpha t}$를 구하라.
Biot 수가 0.02인 물체에 집중용량법을 적용할 수 있는지 판단하라.
냉각 중인 물체에서 $T_i>T_\infty$일 때 무차원 온도는 처음에 얼마인가?