1. 학습 목표

2. 압력

압력은 면에 수직으로 작용하는 힘을 면적으로 나눈 값이다.

\[p=\frac{F_n}{A},\qquad 1\ \mathrm{Pa}=1\ \mathrm{N/m^2}\]

정지 유체에서는 한 점의 압력이 모든 방향에서 같다. 전단응력이 존재하면 유체가 변형되므로 정지 상태를 유지할 수 없다.

$z$축을 위쪽으로 정하고 높이 $\Delta z$, 면적 $A$인 작은 유체요소에 힘의 평형을 적용하면

\[p(z)A-p(z+\Delta z)A-\rho gA\,\Delta z=0\]

이다. 모두 면적 $A$로 나누고, 정리하여 아래와 같이 표현할 수 있다.

\[\frac{p(z+\Delta z)-p(z)}{\Delta z}=-\rho g\]

$\Delta z\rightarrow0$의 극한에서

$\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{p(z+\Delta z)-p(z)}{\Delta z}=\frac{dp}{dz}$ 가 되고, 그 결과는 아래와 같다. $\boxed{\frac{dp}{dz}=-\rho g}$

를 얻는다. 밀도가 일정하면 자유표면에서 깊이 $h$인 점의 압력은

\[\boxed{p=p_0+\rho gh}\]

이다. 예를 들어 물속 2 $m$에서의 게이지압력은 $19.62\ \mathrm{kPa}$이다.

\[p_{\mathrm{abs}}=p_{\mathrm{atm}}+p_{\mathrm{gage}}\]

절대압력은 완전진공을, 게이지압력은 대기압을 0으로 삼는다.

액주계(manometer)는 유체 기둥의 높이차로 압력차를 측정한다. 같은 유체에서 아래로 $\Delta h$만큼 이동하면 압력이 $\rho g\Delta h$만큼 증가하고, 위로 이동하면 감소한다. 서로 다른 유체의 경계에서는 압력이 연속이다.

잠긴 평면에 작용하는 전체 힘은

\[F_R=\int_Ap\,dA\]

이다. 수평면에서는 $F_R=pA$이다. 수직 평면에서는 깊이에 따라 압력이 증가하므로 합력의 작용점이 도심보다 아래에 놓인다.

아르키메데스 원리에 따르면 부력은 물체가 밀어낸 유체의 무게와 같다.

\[\boxed{F_B=\rho_f gV_{\mathrm{displaced}}}\]

물체가 떠서 정지해 있다면 $F_B=mg$이다.

기체의 밀도 변화가 작고 높이차가 크지 않다면 $p=p_0+\rho gh$를 사용할 수 있다. 높이차가 매우 크면 밀도가 압력에 따라 달라지므로 일정한 $\rho$ 가정을 다시 검토해야 한다.

한쪽이 대기에 열려 있는 U자형 액주계에 밀도 $\rho_m=13600\ \mathrm{kg/m^3}$인 수은이 들어 있다. 용기 쪽 수은면이 열린 쪽보다 $h=0.10\ \mathrm m$ 낮다면 용기 내부의 게이지압력은

\[p_g=\rho_mgh =13600(9.81)(0.10) =13.34\ \mathrm{kPa}\]

이다. 열린 쪽 자유표면에서 시작하여 수은 안으로 0.10 m 내려가면 압력이 증가하므로 용기 압력이 대기압보다 높다는 것을 알 수 있다.

여러 유체가 들어 있는 액주계에서는 아래로 이동할 때 $\rho g\Delta h$를 더하고 위로 이동할 때 뺀다. 같은 높이에 있는 동일한 연속 유체의 압력은 같다.