이동현상 개요
운동량, 열 및 물질 전달을 하나의 관점으로 이해하기
- 1. 학습 목표
- 2. 이동현상이란
- 3. 장변수와 구배
- 4. 세 가지 구성방정식
- 5. 보존 원리
- 6. 문제를 푸는 순서
- 7. 정리
- 8. 기호와 단위를 읽는 방법
- 9. 크기량과 세기량
- 10. 연습 문제
1. 학습 목표
- 이동현상에서 다루는 세 물리량을 말할 수 있다.
- 스칼라장과 벡터장을 구분하고 구배의 의미를 설명할 수 있다.
- 보존식과 구성방정식의 역할을 구분할 수 있다.
2. 이동현상이란
이동현상(transport phenomena)은 공간에서 물리량이 전달되는 속도와 방향을 다룬다. 이 강의에서는 다음 세 현상을 공부한다.
| 전달되는 물리량 | 관찰하는 현상 | 주요 물성 |
|---|---|---|
| 운동량 | 점성 유동 | 점도 $\mu$ |
| 열에너지 | 열전도 | 열전도도 $k$ |
| 화학종의 질량 | 확산 | 확산계수 $D$ |
세 현상은 서로 달라 보이지만, 전달속도가 공간 구배에 비례한다는 공통점이 있다.
3. 장변수와 구배
위치와 시간에 따라 값이 달라지는 물리량을 장변수(field variable)라고 한다. 온도장은 $T(x,y,z,t)$, 속도장은 $\boldsymbol v(x,y,z,t)$로 나타낸다.
온도는 한 점에서 하나의 값으로 정해지는 스칼라이다. 온도의 공간 구배는
\[\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\boldsymbol e_x+ \frac{\partial T}{\partial y}\boldsymbol e_y+ \frac{\partial T}{\partial z}\boldsymbol e_z\]이며, 온도가 가장 빠르게 증가하는 방향을 가리키는 벡터이다. 시간 변화율 $\partial T/\partial t$와 공간 구배 $\nabla T$는 서로 다른 양이다.
4. 세 가지 구성방정식
가장 단순한 일차원 전달법칙은 다음과 같다.
\[\begin{aligned} \tau_{yx}&=-\mu\frac{dv_x}{dy} &&\text{Newton의 점성법칙},\\ q_x''&=-k\frac{dT}{dx} &&\text{Fourier의 열전도법칙},\\ J_{A,x}&=-D_{AB}\frac{dc_A}{dx} &&\text{Fick의 제1법칙}. \end{aligned}\]왼쪽은 단위 면적과 단위 시간당 전달량인 플럭스(flux)이다. 음수 부호는 전달 방향이 해당 물리량이 증가하는 방향과 반대임을 뜻한다.
5. 보존 원리
검사체적(control volume)에 대한 보존 원리는
\[\boxed{\text{입력}+\text{생성}=\text{출력}+\text{소모}+\text{축적}}\]으로 정리할 수 있다. 정상상태(steady state)에서는 시간에 따른 축적량이 0이다. 입력과 출력이 같다면 전달은 계속되어도 내부의 양은 변하지 않는다.
6. 문제를 푸는 순서
- 전달되는 물리량과 좌표계를 정한다.
- 검사체적을 정하고 보존식을 세운다.
- 대칭성, 정상상태 및 일차원 가정을 적용한다.
- 구성방정식을 대입하여 지배방정식을 얻는다.
- 경계조건을 적용하여 해를 구한다.
- 단위, 부호 및 극한값을 확인한다.
7. 정리
- 구배는 장변수가 공간에서 가장 빠르게 증가하는 방향을 나타낸다.
- 전달 플럭스는 구동력인 구배와 물성의 곱으로 표현된다.
- 보존식은 양의 수지를, 구성방정식은 물질의 반응을 나타낸다.
8. 기호와 단위를 읽는 방법
이동현상에서는 단위가 계산의 오류를 찾는 가장 쉬운 도구이다.
| 기호 | 뜻 | 대표 SI 단위 |
|---|---|---|
| $\tau$ | 전단응력 또는 운동량 플럭스 | Pa |
| $q’’$ | 열유속 | $\mathrm{W/m^2}$ |
| $J_A$ | 화학종 A의 몰플럭스 | $\mathrm{mol/(m^2\,s)}$ |
| $\nabla T$ | 온도구배 | $\mathrm{K/m}$ |
점 하나의 값은 장(field)이 아니다. 여러 위치에서 값이 정의될 때 장이 된다. 또한 플럭스에 면적을 곱하면 단위 시간당 총 전달량을 얻는다.
9. 크기량과 세기량
전달 문제에서는 전체 양과 단위 면적당 양을 구분해야 한다. 전체 열전달률 $\dot Q$는 물체의 크기에 따라 달라지는 크기량이고, 열유속 $q’‘$은 단위 면적당 열전달률인 세기량이다.
\[q''=\frac{\dot Q}{A},\qquad \dot Q=q''A\]같은 열유속이 흐르더라도 면적이 큰 벽을 통과하는 전체 열량은 더 많다. 질량 전달에서도 몰플럭스 $J_A$와 몰전달률 $\dot n_A$ 사이에 같은 관계가 있다.
\[\dot n_A=J_AA\]운동량 전달에서 전단응력은 단위 면적당 힘이므로 운동량 플럭스로 해석할 수 있다. 이처럼 서로 다른 현상에서 사용되는 용어를 대응시키면 이후의 수식을 쉽게 비교할 수 있다.
10. 연습 문제
- 온도와 열유속 가운데 스칼라와 벡터를 구분하라.
- $T(x)=400-20x\ (\mathrm K)$, $k=5\ \mathrm{W/(m\,K)}$일 때 열유속을 구하라.
- 정상상태에서도 열이 계속 전달될 수 있는 이유를 설명하라.
- 다음 가운데 장변수가 될 수 있는 것을 모두 고르라: 질량, $T(x,y)$, $v_x(y)$.
- $q’‘=200\ \mathrm{W/m^2}$의 열유속이 $0.5\ \mathrm{m^2}$ 면을 통과할 때 열전달률을 구하라.
- 온도가 $+x$ 방향으로 증가한다면 열은 어느 방향으로 흐르는가?