평균장 다결정 소성 모델
결정립 거동의 평균화와 VPSC의 secant 선형화
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이 자료는 Eshelby inclusion 이후에 읽는다. 결정립의 국소 거동과 다결정의 평균 거동을 연결하고, secant 선형화를 소개한다. 결정립의 형상과 방위 갱신은 VPSC의 운동학에서 이어서 다룬다.
1. 평균장 다결정 소성 모델
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각 결정립의 평균적인 거동을 바탕으로, 여러 결정립으로 이루어진 다결정의 평균 거동을 계산할 필요가 있다.
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FE 모델의 경우(Type I), 각 유한요소에 다른 결정 방위를 부과하여 다결정의 거동을 계산하는 방법이 있다.
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VPSC 모델의 경우, Homogeneous Effective Medium 방법을 활용해 계산한다.
- 아래 비선형 거동을 응력에 대한 선형 관계로 나타낸다. 계수는 현재 응력상태에 의존한다.
여기서 $\boldsymbol m^s$는 대칭 Schmid 텐서, $\dot\gamma_0$는 기준 전단속도, $\tau_c$는 모든 슬립계에 같다고 가정한 임계분해전단응력, $n$은 속도 민감도를 나타내는 지수다. 슬립계별 강도가 다른 경우에는 $\tau_c^s$를 사용한다.
\[\dot{\boldsymbol\varepsilon}^{pl}=\dot\gamma_0\sum_s\boldsymbol m^s\bigg(\frac{|\boldsymbol m^s : \boldsymbol \sigma|}{\tau_c}\bigg)^n \text{sgn}(\boldsymbol m^s : \boldsymbol \sigma)\] - 다양한 방법중 Secant 방법을 소개하겠다.
\[\dot{\boldsymbol\varepsilon}^{pl}=\dot\gamma_0\sum_s\boldsymbol m^s\bigg(\frac{|\boldsymbol m^s : \boldsymbol \sigma|}{\tau_c}\bigg)^{n-1} \bigg(\frac{|\boldsymbol m^s : \boldsymbol \sigma|}{\tau_c}\bigg)\text{sgn}(\boldsymbol m^s : \boldsymbol \sigma)\] \[=\dot\gamma_0\sum_s\boldsymbol m^s\bigg(\frac{|\boldsymbol m^s : \boldsymbol \sigma|}{\tau_c}\bigg)^{n-1} \bigg(\frac{\boldsymbol m^s : \boldsymbol \sigma}{\tau_c}\bigg)\] \[\dot{\boldsymbol\varepsilon}^{pl} =\left[ \dot\gamma_0\sum_s \frac{\boldsymbol m^s\otimes\boldsymbol m^s}{\tau_c} \left(\frac{|\boldsymbol m^s:\boldsymbol\sigma|}{\tau_c}\right)^{n-1} \right]:\boldsymbol\sigma\] 대괄호 안은 현재 응력상태에 의존하는 4차 secant compliance 역할을 한다.