경화와 이방성

소성 경화, 이방성 항복조건과 결정소성 개요

• 1. Hardening
  • 1.1. Phenomenological plasticity에서의 가공경화
  • 1.2. strain hardening described in crystal plasticity framework.
• 2. Anisotropy
  • 2.1. Hill’s yield criterion
  • 2.2. Barlat’s yield criterion
• 3. Slip system \& crystal orientation
• 평균장 모델 후속 자료

1. Hardening

• 소성 변형이 증가할 수록 강도가 증가한다.

• 전위 밀도가 증가하며, 항복 응력이 소성 변형량의 증가함에 따라 함께 높아진다.

1.1. Phenomenological plasticity에서의 가공경화

• Isotropic hardening

  • 항복 조건

    \[f(\boldsymbol\sigma)=\sigma^Y\] \[\rightarrow f(\boldsymbol\sigma)-\sigma^Y=0\]

  • 항복면이 동일한 모양을 유지하면서 커진다. 이를 통해 경화 거동을 설명한다. 따라서

    $\sigma^Y \equiv \sigma^Y(\boldsymbol\varepsilon^{pl})$

    \[\boldsymbol\varepsilon^{pl} \uparrow, \sigma^Y \uparrow\]

  • 가령 예를 들어, Hollomon의 경화 모형을 활용한다면 아래와 같이 항복 강도를 소성변형률의 크기($|\boldsymbol\varepsilon^{eq}|$)의 변화에 대한 함수로 표현할 수 있겠다 - 실제로 소성 변형률의 단순 크기를 활용하진 않는다.

    \[\sigma^Y = \sigma^Y_0 +K(|\boldsymbol\varepsilon^{pl}|)^n\]

• Kinematic hardening

  • 항복면을 응력 공간에서 ‘이동’시켜 경화현상 설명

  • 항복면 중심을 나타내는 배응력(back stress) $\boldsymbol\alpha$를 사용하면

    \[f=\sigma_{eq}(\boldsymbol\sigma-\boldsymbol\alpha)-\sigma^Y_0\]

    로 나타낼 수 있다. 하중 방향이 바뀔 때 반대 방향 항복응력이 낮아지는 Bauschinger 효과를 설명하는 데 유용하다.

• Combination of isotropic & kinematic hardening

1.2. strain hardening described in crystal plasticity framework.

• By expressing $\tau_c$ as a function of strains accumulated in a grain, one can describe the strain hardening.

• For example, let’s say the strain of a grain is expressed as below:

\[\dot{\boldsymbol\varepsilon}^{pl}=\dot\gamma_0\sum_s\boldsymbol m^s\bigg(\frac{|\boldsymbol m^s : \boldsymbol \sigma|}{\tau_c}\bigg)^n \text{sgn}(\boldsymbol m^s : \boldsymbol \sigma)\]

• The CRSS $\tau_c$ can be expressed as slip shears accumulated within grains via:

\[\tau_c\equiv\tau_c\bigg(\sum_s\int_0^{t}\dot\gamma^s dt\bigg)\]

한 슬립계의 변형이 다른 슬립계의 임계분해전단응력에도 영향을 주는 현상을 잠재경화(latent hardening)라 한다.

2. Anisotropy

2.1. Hill’s yield criterion

• Von Mises의 등가 응력에 계수를 도입하여, 이방성을 고려하였다. 이때 활용하는 응력 텐서 성분값은, 재료의 ‘압연’ 공정 방향 좌표축을 활용한다. 즉, $\boldsymbol e_1

  \text{RD}, \boldsymbol e_2

  \text{TD}, \boldsymbol e_3

  \text{ND}$

\[\sigma^{Hill} = \sqrt{F(\sigma_{22}-\sigma_{33})^2+G(\sigma_{33}-\sigma_{11})^2+H(\sigma_{11}-\sigma_{22})^2+2L\sigma_{23}^2+2M\sigma_{13}^2+2N\sigma_{12}^2}\] \[\sigma^{Hill}-\sigma^Y=0 \text{ : yield criterion}\] \[\sigma^{Hill}-\sigma^Y<0 \text{ : pure elastic behavior}\]

2.2. Barlat’s yield criterion

• Barlat yield criterion은 응력 텐서의 ‘선형 변환’된 값을 활용한다. 선형 변환 매트릭스 $\boldsymbol L$을 활용하여 응력 텐서를 변환하고, 이를 Hosford 등가 응력 표현에 활용하여, 해당 등가 응력을 항복의 기준으로 삼는다.

\[f(\tilde{\boldsymbol s})=\sigma^Y\]

where $\tilde{\boldsymbol s}$ is a transformed stress tensor, via a linear mapping of the cauchy stress tensor:

\[\tilde{\boldsymbol s}=\boldsymbol L : \boldsymbol\sigma\]

One can then use the same form of Hosford yield function such that:

\[f(\boldsymbol\sigma)=(|s_1 - s_2|^a+|s_2 - s_3|^a+|s_1 - s_3|^a)^{1/a}\]

so that

\[(|s_1 - s_2|^a+|s_2 - s_3|^a+|s_1 - s_3|^a)^{1/a} = \sigma^Y : \text{yield criterion}\] \[(|s_1 - s_2|^a+|s_2 - s_3|^a+|s_1 - s_3|^a)^{1/a} < \sigma^Y : \text{elastic behavior}\]

3. Slip system & crystal orientation

전위 슬립계가 simple shear 변형을 받아드리면서 lattice 회전이 발생할 수 있다. 이는 집합조직 발달로 이어진다.

5. 연습 문제

문제 1

가공경화가 진행될 때 일반적으로 이후의 항복응력은 어떻게 변하는가?

문제 2

등방경화에서 항복면의 크기와 중심은 각각 어떻게 변하는가?

문제 3

이동경화에서 항복면은 응력공간에서 어떻게 변하는가?

문제 4

결정소성에서 경화를 미시적으로 나타내는 대표적인 내부변수를 하나 쓰시오.

평균화와 secant 선형화는 평균장 다결정 소성 모델로 분리했다. Eshelby inclusion 이후에 읽는다.