소성 변형이 증가할 수록 강도가 증가한다.
전위 밀도가 증가하며, 항복 응력이 소성 변형량의 증가함에 따라 함께 높아진다.
Isotropic hardening
항복 조건
\[f(\boldsymbol\sigma)=\sigma^Y\] \[\rightarrow f(\boldsymbol\sigma)-\sigma^Y=0\]항복면이 동일한 모양을 유지하면서 커진다. 이를 통해 경화 거동을 설명한다. 따라서
$\sigma^Y \equiv \sigma^Y(\boldsymbol\varepsilon^{pl})$
\[\boldsymbol\varepsilon^{pl} \uparrow, \sigma^Y \uparrow\]가령 예를 들어, Hollomon의 경화 모형을 활용한다면 아래와 같이 항복 강도를 소성변형률의 크기($|\boldsymbol\varepsilon^{eq}|$)의 변화에 대한 함수로 표현할 수 있겠다 - 실제로 소성 변형률의 단순 크기를 활용하진 않는다.
\[\sigma^Y = \sigma^Y_0 +K(|\boldsymbol\varepsilon^{pl}|)^n\]Kinematic hardening
Combination of isotropic & kinematic hardening
By expressing $\tau_c$ as a function of strains accumulcated in grain, one can describe the strain hardening.
For example, let’s say the strain of a grain is expressed as below:
| Von Mises의 등가 응력에 계수를 도입하여, 이방성을 고려하였다. 이때 활용하는 응력 텐서 성분값은, 재료의 ‘압연’ 공정 방향 좌표축을 활용한다. 즉, $\boldsymbol e_1 | \text{RD}, \boldsymbol e_2 | \text{TD}, \boldsymbol e_3 | \text{ND}$ |
where $\tilde{\boldsymbol s}$ is a transformed stress tensor, via a linear mapping of the cauchy stress tensor:
\[\tilde{\boldsymbol s}=\boldsymbol L : \boldsymbol\sigma\]One can then use the same form of Hosford yield function such that:
\[f(\boldsymbol\sigma)=(|s_1 - s_2|^a+|s_2 - s_3|^a+|s_1 - s_3|^a)^{1/a}\]so that
\[(|s_1 - s_2|^a+|s_2 - s_3|^a+|s_1 - s_3|^a)^{1/a} = \sigma^Y : \text{yield criterion}\] \[(|s_1 - s_2|^a+|s_2 - s_3|^a+|s_1 - s_3|^a)^{1/a} < \sigma^Y : \text{elastic behavior}\]전위 슬립계가 simple shear 변형을 받아드리면서 lattice 회전이 발생할 수 있다. 이는 집합조직 발달로 이어진다.
각 결정립의 평균적인 거동을 바탕으로, 여러 결정립으로 이루어진 다결정의 평균 거동을 계산할 필요가 있다.
FE 모델의 경우(Type I), 각 유한요소에 다른 결정 방위를 부과하여 그 평균 값을 계산을 통해 하는 방법이 있다.
VPSC 모델의 경우, Homogeneous Effective Medimu 방법을 활용해 계산한다.