항복 조건에 필요한 좌표변환, 주응력과 편차응력
응력텐서의 성분은 좌표축을 돌리면 달라진다. 물체에 작용하는 응력 상태 자체가 달라지는 것은 아니다. 평면에서 새 기저를 기존 기저에 대해 $\theta$만큼 회전시키면
\[[\boldsymbol R]=\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}, \qquad [\boldsymbol\sigma]_{\mathrm{new}}=[\boldsymbol R][\boldsymbol\sigma]_{\mathrm{old}}[\boldsymbol R]^T.\]대괄호는 같은 기저에서의 성분 배열이며, $T$는 전치다. $R_{ij}$는 새 기저의 $i$번째 단위벡터와 기존 기저의 $j$번째 단위벡터의 내적이다.
전단응력 성분이 0이 되는 좌표축을 주축 (principal axes)이라 한다. 이 축에 대한 수직응력이 주응력 (principal stresses)이며, 응력텐서의 고유값이다. 평면의 두 주응력은
\[\sigma_{\pm}=\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_{11}-\sigma_{22}}{2}\right)^2+\sigma_{12}^2}\]로 구한다. 평면응력에서는 면외 주응력 0도 포함해 세 주응력을 크기순으로 정리한다. 3차원 최대 전단응력은 $\tau_{\max}=(\sigma_{\max}-\sigma_{\min})/2$다.
예를 들어
\[[\boldsymbol\sigma]=\begin{bmatrix}80&20&0\\20&50&0\\0&0&0\end{bmatrix}\,\mathrm{MPa}\]이면 평면 내 주응력은 $65\pm25$, 즉 $90$과 $40\,\mathrm{MPa}$다. 세 주응력은 $(90,40,0)\,\mathrm{MPa}$이므로 최대 전단응력은 $45\,\mathrm{MPa}$다. 평면 내 최대 전단응력 $25\,\mathrm{MPa}$와 구분해야 한다.
응력은 평균응력과 나머지 부분으로 나눈다.
\[\sigma_m=\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}, \qquad \boldsymbol s=\boldsymbol\sigma-\sigma_m\boldsymbol I.\]$\boldsymbol I$는 단위텐서이고, $\boldsymbol s$는 편차응력 (deviatoric stress)이다. 다음 항복 조건 자료에서는 주응력으로 Tresca 조건을, 편차응력으로 von Mises 조건을 이해한다.
주응력이 $(120,60,0)\,\mathrm{MPa}$일 때 평균응력과 3차원 최대 전단응력을 구하시오.
다음 자료: 소성 항복