소성 항복

항복응력과 Tresca 및 von Mises 항복조건

• 1. 탄성 한계와 항복(yielding)
• 2. 항복 응력 (yield stress)
• 3. 항복 응력의 중요성
• 4. 항복 조건 (스칼라 응력 환경)
• 5. 항복 조건
• 6. 등가 응력 (equivalent stress)
• 7. Tresca 항복 조건
• 8. Von Mises 항복 조건

1. 탄성 한계와 항복(yielding)

• ‘to yield’ means ‘to surrender’, ‘to stop resisting a force’.

• 더이상 탄성변형으로만 변형을 모두 수용하지 못하게 될 때, 소성 변형이 발생하기 시작한다.

• 소성 변형의 발생한다고해서 탄성 변형이 멈추는 것은 아니다!

• 아래 Hooke의 법칙만으로 소성변형까지 설명할 수 없다. \(\sigma=E\varepsilon\)

• 소성 변형이 발생하기 시작하는 조건 (yield condition; yield criterion)을 ‘항복 조건’이라 한다.

2. 항복 응력 (yield stress)

• 항복(plastic yielding)은 소성변형이 발생하기 시작하는 현상이다. 소성변형이 생긴 뒤에도 탄성변형 성분은 함께 존재할 수 있다.

• 보통 응력이 임계값에 도달하면 소성변형이 나타나기 시작한다.

• 따라서, 항복 조건을 주로 ‘응력’ 기준으로 표현한다. 소성 변형이 발생하기 시작하는 응력값을 ‘항복응력’(yield stress)라 부른다.

3. 항복 응력의 중요성

• 항복 응력을 다르게 해석할 수도 있다. 높은 항복 응력값을 가진 재료는, 소성 변형에 대한 ‘저항’이 높은 것으로 이해할 수 있다. 따라서 형태가 유지되는 것이 중요한 ‘구조물’의 경우, 항복 응력값이 높을 수록 안정적이라 볼 수 있다.

• 항복 응력(yield stress)을 항복 강도(yield strength)라 부르는 이유는 이러한 해석에서 비롯된다 볼 수 있다.

• 응력과 변형률이 스칼라 물리량이라면 항복의 표현은 매우 간단해진다.

4. 항복 조건 (스칼라 응력 환경)

• 항복 강도가 100 MPa이라면, 항복이 발생하는 조건은 아래 등식으로 표현될 수 있다.

\[|\sigma|=100\ MPa\]

• 항복 조건을 만족하지 않는 조건은 아래와 같다.

\[|\sigma|<100\ MPa\]

• 임의의 항복 응력을 $\sigma^Y$라 표기하면, 스칼라 응력 환경(예 1축 인장)에서의 항복 조건은 아래와 같다.

\[|\sigma|<\sigma^Y\]

5. 항복 조건

• 하지만 앞서 다루었던 응력은 스칼라 물리량으로 충분히 표현되지 않는다. 일반적인 텐서 응력환경에서 항복 조건은 따라서, 응력 텐서를 활용해서 아래와 같이 표현되어야 겠다.

\[\boxed{f(\boldsymbol\sigma)=\sigma_{eq}(\boldsymbol\sigma)-\sigma^Y}\]

• 이때 $f(\boldsymbol\sigma)$를 우리는 항복 함수(yield function)이라 부르며 아래와 조건을 만족해야 한다.

  • $f(\boldsymbol\sigma)<0$: 응력상태가 항복면 안에 있어 탄성 거동을 한다.
  • $f(\boldsymbol\sigma)=0$: 응력상태가 항복면 위에 있다.
  • $f(\boldsymbol\sigma)>0$: 속도 비의존 모델에서는 허용되지 않으며 소성보정이 필요하다.

6. 등가 응력 (equivalent stress)

• 재료가 겪는 응력 상태(stress state)는 응력 텐서 물리량으로 표현되어야 한다. 이는 응력의 방향성과 세기를 모두 표현하기 위해서이다. 그런데 만약 응력의 ‘세기’만이 항복 조건으로 활용될 수 있다면, 응력의 세기를 표현하는 ‘스칼라’로 환산된 값을 활용해 항복함수를 표현할 수 있겠다.

• 이렇게 응력의 세기를 표현한 스칼라 값을 ‘등가 응력’이라 부른다.

7. Tresca 항복 조건

• 최대 전단 응력값이 임계값에 도달하는 조건
• 이해를 위해 주응력(principal stress)과 좌표변환을 이해할 필요가 있다.

8. Von Mises 항복 조건

• Von Mises의 등가 응력, $\sigma^{VM}$은 아래와 같이 정의된다.

\[\sigma^{VM}=\sqrt{\frac{1}{2}\big[(\sigma_{11}-\sigma_{22})^2+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^2+(\sigma_{33}-\sigma_{11})^2+6(\sigma_{12}^2+\sigma_{13}^2+\sigma_{23}^2)\big]}\]

• Von Mises 항복 조건은 아래와 같다.
  • $\sigma^{VM}<\sigma^Y$: 재료가 탄성 거동을 한다.
  • $\sigma^{VM}=\sigma^Y$: 재료가 소성 변형도 한다.

항복에서 평균응력과 편차응력의 역할

응력은 $\boldsymbol\sigma=\sigma_m\boldsymbol I+\boldsymbol s$로 분해할 수 있다. 연성금속의 von Mises 항복은 형상변화를 일으키는 편차응력 $\boldsymbol s$에만 의존한다. 따라서 모든 주응력에 같은 정수압 응력을 더해도 von Mises 등가응력은 변하지 않는다. 다만 정수압 응력은 연성파괴, 공극 성장과 압력 의존 재료의 항복에는 영향을 줄 수 있다.

9. 연습 문제

문제 1

일축 인장시험에서 응력이 항복응력보다 작을 때 하중을 제거하면 변형은 어떻게 되는가?

문제 2

주응력이 $(100,0,0)$ MPa일 때 von Mises 등가응력을 구하라.

문제 3

정수압 응력만 작용할 때 von Mises 항복이 발생하지 않는 이유를 설명하라.

문제 4

Tresca 항복조건이 사용하는 주응력의 조합을 설명하라.