Week 5 (NumPy 02 - 배열 연산(산술, 내적, 외적), 브로드캐스팅, 그 외 기타 함수)
- 목표
- 벡터/행렬 연산을 할 수 있다.
- 브로드 캐스팅을 이해한다.
- Determination, Eigen value 등을 계산할 수 있다.
수업 05-1
- 벡터의 크기 벡터 \(\boldsymbol a\) 의 크기는 \(|\boldsymbol a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}=\sqrt{\sum_i^3a_i^2}\)
- 벡터의 내적
\(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=\sum_i^3a_ib_i\)
혹은 아래와 같이 두 벡터 사이의 끼인 각 $\theta$ 를 활용해 표현할 수 있다.
\(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta\)
List,len,range,enumeratea=[1,2,3] b=[4,5,6] dotprod=0. for i in range(3): dotprod=dotprod+a[i]*b[i] ## 위를 `dotprod+=a[i]*b[i]`로 줄여서 표현 가능NumPy의 배열을 활용한다면?
a=np.array([1,2,3]) b=np.array([4,5,6]) dotprod=0. for i in range(3): dotprod+=a[i]*b[i] -
행렬간의 dot product
\(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = ?\)
A = np.array([[1, 2], [3, 4]]) B = np.array([[2, 0], [1, 3]]) print(A @ B) # 행렬 곱 print(np.dot(A, B)) # 동일두 2x2 행렬 \(\boldsymbol A\) 와 \(\boldsymbol B\) 의 곱 결과가 또 다른 2x2행렬 \(\boldsymbol C\) 이라면 \(\boldsymbol A\cdot\boldsymbol B = \boldsymbol C\) 와 같이 표현할 수 있다. 이를 index를 활용한 방식으로 아래와 같이 표기 가능하다. \(\sum_k^3A_{ik}B_{kj}=C_{ij}, \text{ for } i=1,2,3.\)
-
외적 \(\boldsymbol c = \boldsymbol a \times \boldsymbol b\) \(c_i=\epsilon_{ijk}a_jb_k\)
import numpy as np a = np.array([1, 2, 3]) b = np.array([4, 5, 6]) c = np.cross(a, b) print(c) # [-3 6 -3]예시 - tetrahedral site & octaheral site 크기 구하기
- Broadcasting
- 브로드캐스팅은 서로 다른 shape의 배열끼리 연산할 때 NumPy가 자동으로 차원을 맞춰주는 기능
- 예시 (1차원+0차원(스칼라))
arr = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) print(arr + 10) # [11 12 13 ... 19] - 예시 (2차원 + 1차원)
mat = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) vec = np.array([10, 20, 30]) print(mat + vec) # [[11 22 33] # [14 25 36]] - 주의 뒤에서부터 비교하며 차원이 같거나 1이면 확장 가능 하나라도 불가능하면 에러 발생
- Other various features
arr = np.array([1, 4, 9, 16]) print(np.sqrt(arr)) # 제곱근 → [1. 2. 3. 4.] print(np.exp(arr)) # e^x print(np.log(arr)) # 자연로그 print(np.sin(arr)) # 사인 함수 print(np.mean(arr)) # 평균 print(np.sum(arr)) # 합 print(np.min(arr)) # 최소값 print(np.max(arr)) # 최대값 print(np.std(arr)) # 표준편차 arr = np.array([3, 1, 2]) print(np.sort(arr)) # 정렬된 배열 print(np.argsort(arr)) # 정렬 인덱스 print(np.argmax(arr)) # 최대값 인덱스 print(np.argmin(arr)) # 최소값 인덱스 ind=np.argsort(arr) arr[ind] ## sorting 이 된 배열 # 추가 예제 names=['Michael','Jim','Pam','Dwight','Kevin','Creed'] scores=[5, 30, 20, 40, 10, 25] inds=np.argsort(scores) print(names[inds]) ## score에 따라 정렬된 배열수업 05-2
- Einstein summation
- 벡터 스케일링 (스칼라 곱)
\(c\boldsymbol a=\boldsymbol b\)
이를 index 표기법으로 나타내면
\(b_i=ca_i \text{ with } i=1,2,3\)
## List로 구현 c=0.3 a=[1,2,3] b=[] # empty list for i in range(3): ## iteration b.append(c*a[i]) ## Numpy로 구현 c=0.3 a=np.array([1,2,3]) b=c*a ## broadcasting - 단위 벡터 (unit)
벡터
\(\boldsymbol a\)
의 크기가 1 이라면, 벡터
\(\boldsymbol a\)
를 단위 벡터라 부른다.
- 주어진 한 벡터 \(\boldsymbol a\) 의 단위 벡터를 \(\bar{\boldsymbol a}\) 라 할 때 아래와 같이 그 관계가 표현될 수 있다. \(\bar{\boldsymbol a}=\frac{\boldsymbol a}{|\boldsymbol a|}\) 혹은 인덱스를 활용해 아래와 같이 표현된다. \(\bar{a}_i=\frac{a_i}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}\)
- 예시:
주어진 벡터
\(\boldsymbol a\)
와 방향은 같으나 크기가 1인 단위 벡터를 구하시오.
a=[3,4,5] magnitude=0. ## 벡터 크기 for i in range(len(a)): magnitude+=a[i]**2 magnitude=magnitude**0.5 ## sqrt(a) for i in range(len(a)): a[i]=a[i]/mag print(bar_a)위를 Numpy를 활용하면
import numpy as np old_a=np.array([3,4,5]) new_a=old_a**2 mag=np.sqrt(new_a.sum()) bar_a=old_a/mag print(bar_a)혹은 더욱 축약한다면
import nump as np old_a=np.array([3,4,5]) bar_a=old_a/np.sqrt((old_a**2).sum()) print(bar_a)
-
벡터 내적 \(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b = \sum_i^3 a_ib_i=c\) 위를 Einstein summation convention으로 표기하면 \(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b = a_ib_i=c\) summation 기호 \(\sum\) 가 생략되어 있음에 주목하시오.
## Numpy없이 구현 a=[1,2,3] b=[4,5,6] c=0. for i in range(3): c+=a[i]*b[i] print(c) ## Numpy로 구현 a=np.array([1,2,3]) b=np.array([4,5,6]) c=a*b ## element-wise operation되는 것을 유념하라. ## 즉 c=np.array([a[0]*b[0],a[1]*b[1],a[2]*b[2]]) c=c.sum() print(c) #혹은 마지막 두 줄을 줄여서 아래와 같은 한줄의 명령어로 바꿀 수 있겠다. c=(a*b).sum() print(c) - 행렬 벡터 곱 \(\boldsymbol c = \boldsymbol A \cdot \boldsymbol v\) \(c_i = \sum_j^3A_{ij}v_j \ \text{ for } i=1,2,3\) 위를 Einstein summation convention으로 표기하면 \(c_i=A_{ij}v_j\)
-
행렬 곱 (single dot) \(\boldsymbol C = \boldsymbol A\cdot \boldsymbol B\) \(C_{ij} = \sum_k^3 A_{ik}B_{kj} \text{ for } (i,j) \text{ of } (1,1), (1,2), ... , (3,2), (3,3)\)
NumPy를 사용하지 않는다면 아래와 같은 예시로 표현될 수 있겠다.
A=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] B=[[3,2,1],[6,5,4],[9,8,7]] C=[] for i in range(3): C.append([]) for j in range(3): C[i].append(0) for k in range(3): C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j]numpy를 활용한다면?import numpy as np A=np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]) B=np.array([[3,2,1],[6,5,4],[9,8,7]]) C=np.zeros((3,3)) for i in range(3): for j in range(3): for k in range(3): C[i,j]+=A[i,k]*B[k,j] ## Nested-list와 달리 ',' 콤마 기호로 각 축의 index를 활용한다. print(C) # 혹은 dot 활용하여 C=np.dot(A,B) print(C) # 혹은 더 줄여서 (python 3.5이상) C=A@B # dtype 이 float로 바뀜 print(C) -
행렬 곱 (double dot) \(c=\boldsymbol A : \boldsymbol B\) \(c=\sum_i\sum_jA_{ij}B_{ij}=\sum_j\sum_iA_{ij}B_{ij}=\sum_j\sum_iB_{ij}A_{ij}=\sum_i\sum_jB_{ij}A_{ij}\)
파이썬 코드로 바꾸면…
A=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] B=[[3,2,1],[6,5,4],[9,8,7]] ## 1 c=0. for i in range(3): # i is outer for j in range(3): # j is inner c+=A[i][j]*B[i][j] print(c) ## 2, 안/바깥 for-loop 바뀜. c=0. for j in range(3): # j is outer for i in range(3): # i is inner c+=A[i][j]*B[i][j] print(c) ## 3. 안/바깥 for-loop 바뀜, 그리고 A와 B의 순서 바뀜 c=0. for j in range(3): # j is outer for i in range(3): # i is inner c+=B[i][j]*A[i][j] # A[i][j] x B[i][j] 혹은 B[i][j] x A[i][j] print(c) ## 4. A와 B의 순서 바뀜 c=0. for i in range(3): # i is outer for j in range(3): # j is inner c+=B[i][j]*A[i][j] # A[i][j] x B[i][j] 혹은 B[i][j] x A[i][j] print(c)numpy를 활용해서 표현해보자.A=np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]) B=np.array([[3,2,1],[6,5,4],[9,8,7]]) ## c=0. for i in range(3): # i is outer for j in range(3): # j is inner c+=A[i,j]*B[i,j]
- 벡터 스케일링 (스칼라 곱)
\(c\boldsymbol a=\boldsymbol b\)
이를 index 표기법으로 나타내면
\(b_i=ca_i \text{ with } i=1,2,3\)