소성가공

영구 변형(permanent deformation)

• 경화가 없는 탄소성 거동 재료의 stress vs. strain 곡선:

• 소성 변형은 응력이 0이되면 사라지고, 소성 변형은 $\sigma=\sigma_y$를 만족하여야 생긴다.

변형률 분해

• 전체 변형률은 탄성 변형률과 소성 변형률의 ‘합’으로 이해된다.

\[\varepsilon=\varepsilon^{el}+\varepsilon^{pl}\]

• 텐서의 경우에도 마찬가지

\[\boldsymbol{\varepsilon}=\boldsymbol{\varepsilon}^{el}+\boldsymbol{\varepsilon}^{pl}\]

Hooke’s law

• 탄성 변형률은 Hooke 법칙 따른다

\[\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{E}:\boldsymbol{\varepsilon}^{el}\] \[\sigma_{ij} =\sum_k^3\sum_l^3 E_{ijkl}\varepsilon^{el}_{kl} \text{ with }\ \ i=1,2,3 \ \ \ j=1,2,3\]

Flow rule

• 소성 변형률의 변화는 flow rule을 따른다.

• 가장 널리 활용되는 flow rule은, ‘normality’ rule (혹은 associated flow rule)이다.

\[d\boldsymbol{\varepsilon}^{pl}=d\lambda\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol{\sigma}}\] \[f: \text{ plastic potential}\newline \lambda: \text{ plastic multiplier}. \newline d\lambda: \text { instantaneous change in } \lambda\]

• 소성 변형률 텐서 increment(즉 $d\boldsymbol\varepsilon^{pl}$)의 방향은 $\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol\sigma}$가 결정하고, 그 크기($

  d\boldsymbol\varepsilon^{pl}

  $)는 $d\lambda$가 결정한다.

• 주응력 공간에서 위는 아래와 같이 표현된다.

\[d{\varepsilon}^{pl}_i=d\lambda\frac{\partial f}{\partial{\sigma_i}} \text{ with } i=1,2,3\]

• Von mises 등가 응력값을 plastic potential에 활용한다면

\[f=\sqrt{\frac{1}{2}\bigg((\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\bigg)}\]

전위 슬립 (dislocation slip)과 Schmid law

• 금속에서 소성 변형은 전위의 슬립 메커니즘으로 수용된다.

• 한 슬립계는, 슬립면의 수직선 $\boldsymbol n$과 슬립 방향 $\boldsymbol b$로 이우어져 있다.

• Schmid 법칙

  • 외부 응력 $\boldsymbol \sigma$가 가해졌을 때, 슬립계 s에 전달되는 분해 전단 응력은 아래와 같이 구한다.

\[\tau^s=({\boldsymbol\sigma}\cdot {\boldsymbol n}^s)\cdot \boldsymbol b^s=\sum_i^3\sum_j^3\sigma_{ij}n_i^sb_j^s\]

• 이를 Schmid tensor $\boldsymbol m$을 활용해 표현할 수 있다.

\[\boldsymbol m^s = \frac{1}{2}(\boldsymbol{n}^s\otimes\boldsymbol{b}^s+ \boldsymbol{b}^s\otimes\boldsymbol{n}^s)\] \[m^s_{ij}=\frac{1}{2}(n_i^sb_j^s+n_j^sb_i^s), \text{ with } i=1,2,3 \ \ \ j=1,2,3\]

• 응력텐서의 특징 $\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$로 인해 아래를 만족한다.

\[\tau^s=({\boldsymbol\sigma}\cdot {\boldsymbol n}^s)\cdot \boldsymbol b^s=\sum_i^3\sum_j^3\sigma_{ij}n_i^sb_j^s=\sum_i^3\sum_j^3\sigma_{ij}m_{ij}^s\]

• double contraction 활용해 더욱 간략히 표기할 수 있다.

\[\tau^s=\boldsymbol\sigma:\boldsymbol m^s\]

Dislocation slip 조건

• 모든 슬립계의 CRSS값, $\tau_c$가 동일하다면, 소성 변형의 시작은 최대 분해 전단 응력값이 $\tau^{crss}$ 값과 같을 때 발생한다.

\[|\max_s\{\tau^s\}|=\tau_c\]

Rate dependent formulation

• 앞서 논의한 아래와 같은 항복 조건을 좀 더 유연하게 적용한 경우가 있다.

\[|\max_s\{\tau^s\}|=\tau_c\]

• 각 슬립계에서, 다음과 같은 ‘멱함수’의 형태로 각 전단 변형률 속도와 연계된다.

• 우선 각 슬립계의 전달 변형률 속도를 각 슬립계에 작용하는 분해전단 응력, 그리고 각 슬립계의 임계 분해 전단 응력의 함수로 표현한다.

\[\dot\gamma^s/\dot{\gamma_0}=(\tau^s/\tau_c^s)^n\]

• 위 식의 문제는 $\pm$ 전단 방향을 제대로 고려하지 못한다는 점이다.
  • $\tau^s<0$ 일 때 항상 $\dot\gamma^s<0$을 만족하지 못한다.
  • 이는 $n$값이 짝수냐 홀수냐에 따라 영향을 받는다.
• 아래 표현이 더욱 적절하다.

\[\dot\gamma^s/\dot{\gamma_0}=(|\tau^s|/\tau_c^s)^n\text{sgn}(\tau^s)\]

• 멱함수내 전단 응력의 sign을 항상 positive로 유지하고, 대신 바깥에 $\text{sgn}(\tau^s)$를 통해 $\dot\gamma^s$와 $\tau^s$의 방향(sign)을 일키 시키게 된다.

결정립내 변형률

• 한 결정립 내 여러 슬립계가 12개 있다면

\[\dot{\boldsymbol\varepsilon}^{pl}=\sum_s^{12} \dot\gamma^s \boldsymbol{m}^s\]

• 따라서, 앞선 전단 변형 속도 식을 대입하면

\[\dot{\boldsymbol\varepsilon}^{pl}=\sum_s^{12} \dot\gamma_0\bigg(\frac{|\tau^s|}{\tau_c^s}\bigg)^n\text{sgn}(\tau^s) \boldsymbol{m}^s\]

• Schmid law를 대입하면

\[\dot{\boldsymbol\varepsilon}^{pl}=\sum_s^{12} \dot\gamma_0\bigg(\frac{|\boldsymbol m^s:\boldsymbol\sigma|}{\tau_c^s}\bigg)^n\text{sgn}(\boldsymbol m^s:\boldsymbol\sigma) \boldsymbol{m}^s\]

• 위 식을 index를 활용해 표기하면 더 이해에 도움된다?

\[\dot{\varepsilon}^{pl}_{ij}=\sum_s^{12} \dot\gamma_0\bigg(\frac{|\sum_k^3\sum_l^3\boldsymbol m^s_{kl}:\sigma_{kl}|}{\tau_c^s}\bigg)^n\text{sgn}(\sum_k^3\sum_l^3\boldsymbol m^s_{kl}:\sigma_{kl}) m^s_{ij}\ ,\ \ \text{ with } i=1,2,3\ \ \ \ j=1,2,3\]