선형 탄성 등방 선형탄성과 Hooke 법칙
Contents 1. 선형 탄성 (linear elasticity) 거동 힘->응력 변위->변형류
응력과 변형률로 표현된 자극과 반응 사이의 관계는? 많은 금속 재료의 경우, 매우 높은 응력 값이 가해지는 게 아니라면 탄성 거동만을 보인다. 그럴경우 응력이 가해지는 동안에만 변형률이 보이고, 응력이 사라지면 변형률이 사라진다. 그리고 많은 금속 재료들은 탄성을 보일 때, 응력과 변형률이 선형 비례한다. 위 거동을 만족시키는 응력과 변형률의 관계는 아래와 같이 표현된다. \[\boldsymbol\sigma=\boldsymbol E : \boldsymbol \varepsilon\] 2. Young’s modulus (영률) Hooke의 법칙에서 보이는 스칼라 $E$를 영률이라 부른다.
변형률이 단위가 없으므로, 영률은 응력과 같은 단위를 가진다 ($Pa, MPa$ 등)
영률은 재료의 성질이다. 강철과 고무에 동일한 응력을 가했을 때, 강철의 변형률이 훨씬 작다. 따라서 강철의 영률이 고무의 영률에 비해 매우 크다.
3. 포아송 효과 (Poisson effect) 인장하는 길이가 $\mathbf e_1$ 방향일 때, 수직 변형이 $\mathbf e_1$축으로만 발생하지 않는다. 그에 수직한 방향, 예를 들어 $\mathbf e_2$로는 길이가 줄어드는 수직 변형이 발생할 수 있다.
이럴 때, 적어도 두 수직 변형률 성분 $\varepsilon_{11}$, $\varepsilon_{22}$가 0이 아님을 알 수 있다. 더욱 구체적으로는 아래와 같은 값의 범위를 가지게 된다.
$\varepsilon_{11}>0$ $\varepsilon_{22}<0$ 이때 발생하는 두 수직 변형률 성분의 비를 poisson 비로 정의한다.
\[\nu=-\frac{\varepsilon_{22}}{\varepsilon_{11}}\] 4. 3차원으로 확장하여 표현되는 Hooke의 법칙 응력텐서 $\boldsymbol \sigma$와 변형률 텐서 $\boldsymbol \varepsilon$의 선형 관계를 표현해야 하겠다. 이를 아래와 같이 표현할 수 있다. \[[\boldsymbol\sigma]_{ij} = \sum_{k=1}^3\sum_{l=1}^3 [\boldsymbol E]_{ijkl} [\boldsymbol\varepsilon] _{kl} \text{ with } i=1,2,3\ \ \ j=1,2,3\] 응력과 변형률 텐서는 각각 랭크2의 매트릭스로, 탄성계수 텐서 $E$는 랭크 4의 매트릭스로 표현됨을 알 수 있다. 5. 등방성 재료의 경우 재료의 물성이 방향에 관계 없을 때, 앞선 3차원 Hooke의 법칙에 활용된 랭크4의 $E$텐서를 두 스칼라 $\lambda$와 $G$로 표현할 수 있다. \[\boldsymbol \sigma = \lambda tr(\boldsymbol \varepsilon) \mathbf I + 2G \boldsymbol \varepsilon\] \[\sigma_{ij} = \lambda \delta_{ij} \sum_{k=1}^3(\varepsilon_{kk}) + 2G\varepsilon_{ij}, \text{ with } i=1,2,3\ \ \ j=1,2,3\] $tr(\boldsymbol\varepsilon)$는 체적 변형률이며 아래와 같이 정의된다. \(tr(\boldsymbol\varepsilon)=\sum_{k=1}^3\varepsilon_{kk}=\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}\)
$\boldsymbol I$는 랭크2 단위 텐서이며, 아래와 같은 매트릭스 형태로 표현된다.
\[\boldsymbol I = \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \\ \end{bmatrix}\] 6. 선형 등방 Hooke 법칙 상세 설명 체적변형과 형상변형의 역할을 정확히 나누려면 변형률을 평균성분과 편차성분으로 분해하는 것이 좋다. 체적탄성계수를 $K=\lambda+2G/3$라 하면 \[[\boldsymbol\sigma] =K\operatorname{tr}(\boldsymbol\varepsilon)\boldsymbol I +2G[\boldsymbol\varepsilon]^{dev}\] 이다. 첫 항은 체적변화에, 두 번째 항은 형상변화에 대응한다. 원래 식의 $2G\boldsymbol\varepsilon$에는 체적성분도 포함되므로 그 항 전체를 형상변화 성분이라고 부르면 정확하지 않다.
응력 성분을 각기 풀어 표현하면
수직 성분의 경우 \(\sigma_{11}=\lambda (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}) + 2G\varepsilon_{11}\) \[\sigma_{22}=\lambda (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}) + 2G\varepsilon_{22}\] \[\sigma_{33}=\lambda (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}) + 2G\varepsilon_{33}\] \[\sigma_{12}=2G\varepsilon_{12}\] \[\sigma_{13}=2G\varepsilon_{13}\] \[\sigma_{23}=2G\varepsilon_{23}\] 7. 선형 등방 Hooke 법칙에서의 상수 관계 등방성을 고려하지 않은 Hooke 법칙에서 랭크 4의 탄성계수 텐서$E_{ijkl}$가 81개의 성분을 가질 수 있는 것으로 보인다 (3x3x3x3=81). 하지만 등방성을 고려한 Hooke의 법칙에서는 단 2개의 스칼라 값을 활용했다 ($\lambda, G$) 실제로는 $\lambda$와 $G$의 쌍보다 영률 $E$와 Poisson 비 $\nu$를 활용하는 경우가 많으며, 두 상수 집합은 서로 변환할 수 있다. \[G=\frac{E}{2(1+\nu)}\] \[\lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\] 8. Voigt 표현법 삼차원으로 확장하여 표현한 Hooke의 법칙은 아래와 같다. \([\boldsymbol\sigma]_{ij} = \sum_{k=1}^3\sum_{l=1}^3 [\boldsymbol E]_{ijkl} [\boldsymbol\varepsilon]_{kl} \text{ with } i=1,2,3\ \ \ j=1,2,3\)
응력과 변형률 텐서 모두 6개의 독립 성분만을 가지므로, 6성분을 가지는 랭크1의 행렬로 표현하여 표기하기도 한다.
그러한 방법중 Voigt표현을 활용하여 아래와 같이 표현한다.
\[[\boldsymbol\sigma]^{voigt}= \begin{bmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22}\\ \sigma_{33}\\ \sigma_{23}\\ \sigma_{13}\\ \sigma_{12}\\ \end{bmatrix}\] \[[\boldsymbol\varepsilon]^{voigt}= \begin{bmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22}\\ \varepsilon_{33}\\ 2\varepsilon_{23}\\ 2\varepsilon_{13}\\ 2\varepsilon_{12}\\ \end{bmatrix}\] 위 방법을 확장하며 Hooke의 법칙을 새로 인덱스로 표기하면 \[\ [\boldsymbol\sigma]_i^{voigt}=\sum_{j}^6 [\boldsymbol E]_{ij}^{voigt} [\boldsymbol\varepsilon]_j^{voigt}\] 로 간략히 표기할 수 있겠다. 그리고 이때 탄성계수 텐서가 2랭크 $6\times6$행렬 형태로 표기된다.
등방성 재료에서 $[\boldsymbol E]_{ij}^{voigt}$의 각 성분은 아래와 같다. \[[\boldsymbol E]^{voigt}= \begin{bmatrix} \lambda + 2G & \lambda &\lambda &0 &0 &0 \\ \lambda &\lambda + 2G & \lambda &0 &0 &0 \\ \lambda & \lambda &\lambda + 2G &0 &0 &0 \\ 0 & 0 &0 &G &0 &0 \\ 0 & 0 &0 &0 &G &0 \\ 0 & 0 &0 &0 &0 &G \\ \end{bmatrix}\] 9. Compliance matrix \[\boldsymbol \varepsilon=\boldsymbol S : \boldsymbol \sigma\] \[[\boldsymbol S]^{voigt}= \begin{bmatrix} 1/ E& -\nu/E & -\nu/E &0 &0 &0 \\ -\nu/E &1/E & -\nu/E &0 &0 &0 \\ -\nu/E & -\nu/E &1/E &0 &0 &0 \\ 0 & 0 &0 &1/G &0 &0 \\ 0 & 0 &0 &0 &1/G &0 \\ 0 & 0 &0 &0 &0 &1/G \\ \end{bmatrix}\] 10. Plane stress와 plane strain 조건에서의 Hooke 법칙 \[\begin{bmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22}\\ \sigma_{12}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{E}{1-\nu^2} & \frac{\nu E}{1-\nu^2} & 0 \\ \frac{\nu E}{1-\nu^2} & \frac{E}{1-\nu^2} & 0 \\ 0 & 0 & G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22}\\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}\] 위 행렬은 평면응력 조건의 식이다. 벡터의 세 번째 변형률 성분은 공학전단변형률 $\gamma_{12}=2\varepsilon_{12}$이므로 전단계수가 $G$로 들어간다.
평면변형률에서는 $\varepsilon_{33}=0$이지만 $\sigma_{33}$은 일반적으로 0이 아니다. 면내 관계는 다음과 같다.
\[\begin{bmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22}\\ \sigma_{12} \end{bmatrix} = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0\\ \nu & 1-\nu & 0\\ 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22}\\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}\] 등방 선형탄성체의 에너지가 안정하려면 일반적으로 $E>0$이고 $-1<\nu<0.5$여야 한다. 금속의 Poisson 비는 흔히 약 0.3이며, $\nu$가 0.5에 가까울수록 탄성 체적변화에 더 강하게 저항한다.
11. 연습 문제 문제 1 Young 계수가 200 GPa인 재료에 0.001의 일축 탄성변형률이 생겼다. 응력을 구하라.
문제 2 일축 인장변형률이 0.01이고 Poisson 비가 0.3일 때 횡변형률을 구하라.
문제 3 등방 선형탄성체를 나타내는 독립적인 탄성상수는 몇 개인가?
문제 4 전단탄성계수 $G$를 $E$와 $\nu$로 나타내라.