3차원 문제를 단순화하는 두 평면 조건
평면 조건은 구조물이 실제로 2차원이라는 뜻이 아니다. 3차원 문제에서 특정 면외 응력 또는 변형률 성분을 무시할 수 있어 계산을 2차원으로 단순화하는 근사 가정이다. 형상의 길이비뿐 아니라 하중 방향, 경계조건과 관심 위치가 함께 이 가정을 결정한다.
\(\sigma =\begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_{33} \end{bmatrix}\) 로 표현되고, 6개의 독립성분 $\sigma_{11}, \sigma_{22},\sigma_{33},\sigma_{12}, \sigma_{13}, \sigma_{23}$이 존재한다.
로 표현되고, 6개의 독립성분 $\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22},\varepsilon_{33},\varepsilon_{12}, \varepsilon_{13}, \varepsilon_{23}$이 존재한다.
만약 $\mathbf{e}_3$ 축방향이 짧은 모서리 방향이라면, 평면 응력 조건에서 응력텐서는 아래와 같다. \(\sigma =\begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & 0 \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
얇은 판의 자유표면에는 두께 방향 면력이 거의 작용하지 않기 때문이다.
두께 방향을 3방향으로 잡으면 자유표면의 법선은 $\boldsymbol n=\boldsymbol e_3$이고 Cauchy 공식으로
\[\boldsymbol t(\boldsymbol e_3) =\boldsymbol\sigma\cdot \boldsymbol e_3 =\begin{bmatrix}\sigma_{13}\\\sigma_{23}\\\sigma_{33}\end{bmatrix} \approx\boldsymbol0\]이다. 이것이 평면응력에서 세 면외 응력성분을 0으로 두는 물리적 근거다. 그러나 Poisson 효과로 판의 두께가 변할 수 있으므로 $\varepsilon_{33}$은 일반적으로 0이 아니다.
평면응력은 얇은 판의 중앙면에서, 하중이 주로 판의 면 안으로 작용하고 두께방향 표면이 자유로울 때 좋은 근사가 된다. 하중 도입부, 구멍 주변이나 두꺼운 접합부에서는 3차원 응력상태가 나타날 수 있다.
만약 $\mathbf{e}_3$ 축방향으로 변형이 거의 발생하지 않는 평면 변형 조건이라면 그에 해당하는 변형률 텐서는 아래와 같다. \(\varepsilon =\begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & 0 \\ \varepsilon_{12} & \varepsilon_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
길이가 매우 길거나 주변 재료에 의해 구속된 방향에서는 변형이 억제될 수 있기 때문이다. 평면변형률 조건에서도 일반적으로 $\sigma_{33}$은 0이 아님에 주의한다.
평면변형률 조건은 3방향 변위가 없고 면내 변위가 3방향으로 변하지 않는
\[u_3=0, \qquad \frac{\partial u_1}{\partial x_3} =\frac{\partial u_2}{\partial x_3}=0\]인 상황에서 얻을 수 있다. 면외 변형을 막기 위한 반력이 필요하므로 $\sigma_{33}$은 일반적으로 0이 아니다.
긴 댐, 터널이나 긴 압출 다이의 끝에서 충분히 떨어진 중앙 단면이 대표적인 예다. 폭이 두께보다 매우 큰 판재의 압연에서는 폭방향 변형이 작다고 보아 폭–압연방향 단면을 평면변형으로 근사하기도 한다. 단, 자유로운 끝단 부근에서는 이 가정이 약해질 수 있다.
| 구분 | 0으로 두는 면외 성분 | 일반적으로 0이 아닌 면외 성분 | 대표적인 예 |
|---|---|---|---|
| 평면응력 | $\sigma_{33},\sigma_{13},\sigma_{23}$ | $\varepsilon_{33}$ | 얇은 판의 자유표면 |
| 평면변형률 | $\varepsilon_{33},\varepsilon_{13},\varepsilon_{23}$ | $\sigma_{33}$ | 매우 긴 구조물의 중앙 단면 |
평면응력에서 $\varepsilon_{33}$은 Poisson 효과 때문에 생길 수 있고, 평면변형률에서 $\sigma_{33}$은 면외 변형을 억제하는 구속력 때문에 생길 수 있다. 즉, ‘2차원 문제’라고 해서 모든 면외 응력과 변형률을 동시에 0으로 두는 것은 아니다.
다음 질문을 순서대로 확인하면 조건을 선택하는 데 도움이 된다.
두 조건 중 어느 것도 충분하지 않으면 3차원 해석이 필요하다. 또한 한 구조물에서도 위치에 따라 적절한 근사가 달라질 수 있다.
평면조건에서 ‘0으로 가정하지 않은 면외 성분’은 구성방정식으로 계산할 수 있다. 등방 선형탄성체의 3차원 Hooke 법칙을 생각하자.
$\sigma_{33}=0$인 평면응력에서
\[\boxed{ \varepsilon_{33} =-\frac{\nu}{E}(\sigma_{11}+\sigma_{22}) }\]이다. 면내에 인장응력이 작용하면 Poisson 효과로 두께가 감소하므로 $\varepsilon_{33}<0$이 될 수 있다.
$\varepsilon_{33}=0$인 평면변형률에서는
\[\boxed{ \sigma_{33}=\nu(\sigma_{11}+\sigma_{22}) }\]이다. 이는 면외 변형을 막기 위해 생기는 구속응력이다. 두 식은 다음 선형 탄성 강의에서 자세히 유도한다.
$E=200$ GPa, $\nu=0.30$인 얇은 판에 $\sigma_{11}=100$ MPa, $\sigma_{22}=50$ MPa가 작용한다고 하자.
\[\varepsilon_{33} =-\frac{0.30}{200\,000}(100+50) =-2.25\times10^{-4}\]이다. 면외 응력은 0이지만 두께방향 변형률은 0이 아니다.
같은 재료와 면내 응력에서 면외 변형이 완전히 구속되었다면
\[\sigma_{33}=0.30(100+50)=45\ \mathrm{MPa}\]이다. 면외 변형률은 0이지만 면외 응력은 0이 아니다.
| 항목 | 평면응력 | 평면변형률 |
|---|---|---|
| 핵심 원인 | 얇은 방향의 자유표면 | 긴 방향 또는 주변 재료의 구속 |
| 0인 성분 | $\sigma_{33},\sigma_{13},\sigma_{23}$ | $\varepsilon_{33},\varepsilon_{13},\varepsilon_{23}$ |
| 남을 수 있는 면외 성분 | $\varepsilon_{33}$ | $\sigma_{33}$ |
| 대표 예 | 얇은 판재의 면내 하중 | 긴 구조물의 끝단에서 먼 단면 |
얇은 판의 표면에 수직한 방향의 응력이 거의 0이라면 어떤 평면 조건으로 근사할 수 있는가?
매우 긴 구조물의 길이 방향 변형이 구속되어 거의 0이라면 어떤 평면 조건으로 근사할 수 있는가?
평면응력 조건에서 일반적으로 0으로 두는 세 응력 성분을 쓰시오.
평면변형률 조건에서 일반적으로 0으로 두는 세 변형률 성분을 쓰시오.
얇은 금속판을 판의 면 안에서 잡아당기고 두께방향 양쪽 표면은 자유롭다. 어떤 평면조건이 적절한가?
매우 긴 터널의 끝에서 충분히 멀리 떨어진 단면을 해석하며 터널 길이방향 변형을 무시할 수 있다. 어떤 평면조건이 적절한가?
평면응력 상태에서 $\sigma_{11}=120$ MPa, $\sigma_{22}=60$ MPa, $\sigma_{12}=30$ MPa이다. 3차원 응력 텐서를 쓰시오.
평면변형률 상태에서 $\varepsilon_{11}=0.010$, $\varepsilon_{22}=-0.004$, $\varepsilon_{12}=0.003$이다. 3차원 변형률 텐서를 쓰시오.
$E=70$ GPa, $\nu=0.30$인 평면응력 상태에서 $\sigma_{11}=100$ MPa, $\sigma_{22}=50$ MPa이다. $\varepsilon_{33}$을 구하시오.
$\nu=0.30$인 등방 탄성체의 평면변형률 상태에서 $\sigma_{11}=100$ MPa, $\sigma_{22}=50$ MPa이다. $\sigma_{33}$을 구하시오.
“2차원 문제에서는 모든 면외 응력과 면외 변형률이 0이다”라는 설명이 잘못된 이유를 쓰시오.
평면응력에서 두께방향 자유표면의 면력벡터가 0이면 $\sigma_{13}$, $\sigma_{23}$, $\sigma_{33}$이 0이 되는 이유를 Cauchy 공식으로 설명하시오.
얇은 판이라도 평면응력 근사가 부정확할 수 있는 위치를 하나 쓰고 이유를 설명하시오.
한 구조물 전체에 항상 같은 평면조건을 적용할 수 있는지 설명하시오.