힘과 응력

면에 작용하는 힘과 Cauchy 응력 텐서

• 1. 힘
• 2. 응력
• 3. 수직 및 전단 응력
• 4. 응력 텐서
  • 4.1. Cauchy 면력 공식
  • 4.2. 응력 텐서가 필요한 이유
  • 4.3. 응력 텐서의 대칭성
  • 4.4. 계산 예제
• 5. 응력 분포에서 합력 구하기
• 6. 면력 방향이 변하는 경우
• 7. 요약
• 8. 연습 문제
  • 8.1. 문제 1
  • 8.2. 문제 2
  • 8.3. 문제 3
  • 8.4. 문제 4
  • 8.5. 문제 5
  • 8.6. 문제 6
  • 8.7. 문제 7
  • 8.8. 문제 8
  • 8.9. 문제 9
  • 8.10. 문제 10
  • 8.11. 문제 11
  • 8.12. 문제 12
  • 8.13. 문제 13
  • 8.14. 문제 14
  • 8.15. 문제 15
  • 8.16. 문제 16

1. 힘

• 힘이 가해지면 운동 상태의 변화나 변형이 발생한다. 소성 역학에서 우리는 변형 발생에 초점을 둔다.

• 벡터 물리량이며, 크기(magnitude)와 방향을 가진다.

• SI 단위로 표현하면 $1\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{kg\,m/s^2}$이다.

힘은 작용 방식에 따라 두 종류로 나눌 수 있다.

• 체적력(body force): 물체의 부피 전체에 작용한다. 중력과 전자기력이 예다.
• 표면력(surface force): 물체의 경계면이나 접촉면을 통해 전달된다. 인장시험기의 그립력과 압연 롤의 접촉력이 예다.

한 면 전체에 작용하는 힘은 합력(resultant force)이고, 그 힘이 면에 어떻게 분포하는지는 응력으로 나타낸다.

2. 응력

물체 내부의 한 점을 지나는 특정 면에 작용하는 단위면적당 힘을 면력벡터 (traction vector)라 한다. 한 점에서 면의 방향에 따른 면력벡터의 관계 전체는 응력 텐서로 나타낸다. 면 전체에 면력벡터 $\boldsymbol t$가 분포하면 합력은

\[\boldsymbol F=\int_A\boldsymbol t\,dA\]

이다. 면력이 균일할 때만 평균 면력은

\[\boldsymbol t_{avg}=\frac{\boldsymbol F}{A}\]

로 단순화된다. 면적 $A$는 스칼라이므로 이는 벡터를 스칼라로 나누는 연산이다.

응력 텐서 $\boldsymbol\sigma$ 자체는 단순히 ‘힘 벡터를 면적 벡터로 나눈 값’이 아니다. 같은 점에서도 선택한 면의 법선방향에 따라 면력벡터가 달라지며, 그 관계 전체를 응력 텐서가 나타낸다.

• 단위

단위	의미
Pa	$\mathrm{N/m^2}$
kPa	$10^3$ Pa
MPa	$10^6$ Pa
GPa	$10^9$ Pa

3. 수직 및 전단 응력

• 수직 응력: 면에 수직으로 작용하는 힘에 의한 응력

• 전단 응력: 면과 평행하게 작용하는 힘에 의한 응력

  • 가위
  • 리벳
  • 볼트
  • 전위의 슬립

수직응력과 전단응력은 서로 별개의 면력이 아니라, 한 면에 작용하는 면력벡터를 면의 법선방향과 접선방향으로 나눈 성분이다. 인장응력을 양수, 압축응력을 음수로 두는 부호 관례를 흔히 사용한다. 다음 절에서는 응력 텐서로 임의의 면에 작용하는 면력벡터를 구한 뒤 이 두 성분으로 분해한다.

4. 응력 텐서

• 응력은 2차 텐서이며, 선택한 좌표계에서 그 성분을 행렬로 표현할 수 있다.

\[[\boldsymbol\sigma] =\begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix}\]

• 여기서는 Cauchy 공식 $t_i=\sigma_{ij}n_j$를 사용한다. 따라서 $\sigma_{ij}$의 첫 번째 첨자 $i$는 면력의 방향, 두 번째 첨자 $j$는 면 법선의 방향을 나타낸다. 예를 들어 $\sigma_{12}$는 법선이 $\boldsymbol e_2$인 면에 $\boldsymbol e_1$ 방향으로 작용하는 응력 성분이다.

4.1. Cauchy 면력 공식

단위법선벡터가 $\boldsymbol n$인 임의의 면에 작용하는 면력벡터는

\[\boxed{\boldsymbol t(\boldsymbol n)=\boldsymbol\sigma\cdot\boldsymbol n}\]

면력의 수직성분과 전단성분은 각각

\[\sigma_n=\boldsymbol n\cdot\boldsymbol t, \qquad \boldsymbol t_n=\sigma_n\boldsymbol n, \qquad \boldsymbol t_s=\boldsymbol t-\boldsymbol t_n\]

로 구한다. 따라서 면력벡터는

\[\boldsymbol t=\boldsymbol t_n+\boldsymbol t_s\]

로 분해되며, 전단응력의 크기는 $\tau=|\boldsymbol t_s|$이다.

4.2. 응력 텐서가 필요한 이유

한 점의 응력상태를 알려면 서로 수직인 세 면에 작용하는 세 면력벡터를 알아야 한다. 이 아홉 성분을 배열하면 $3\times3$ 응력 행렬이 된다. 응력 텐서를 알면 Cauchy 공식으로 그 점을 지나는 어떤 방향의 면에서도 면력벡터를 계산할 수 있다.

반대 방향의 법선을 갖는 면에서는

\[\boldsymbol t(-\boldsymbol n) =\boldsymbol\sigma\cdot(-\boldsymbol n) =-\boldsymbol t(\boldsymbol n)\]

이다. 이는 같은 내부 절단면의 양쪽 물체에 작용하는 면력이 크기는 같고 방향은 반대라는 작용·반작용 관계와 일치한다.

4.3. 응력 텐서의 대칭성

우력응력(couple stress)이 없는 고전적 연속체에서는 각운동량 평형에 의해 $\boldsymbol\sigma=\boldsymbol\sigma^T$가 된다. 따라서 $\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$이며, $3\times3$ 응력 텐서의 독립 성분은 6개다.

4.4. 계산 예제

다음 응력상태를 생각하자.

\[[\boldsymbol\sigma]= \begin{bmatrix} 100&20&0\\ 20&60&0\\ 0&0&40 \end{bmatrix}\ \mathrm{MPa}\]

법선이 $\boldsymbol n=(1,0,0)^T$인 면의 면력벡터는

\[\boldsymbol t=\boldsymbol\sigma\cdot[\boldsymbol n] =\begin{bmatrix}100\\20\\0\end{bmatrix}\ \mathrm{MPa}\]

이다. 수직응력은 $\sigma_n=100$ MPa이고 전단응력벡터는 $\boldsymbol t_s=(0,20,0)^T$ MPa이므로 전단응력의 크기는 20 MPa이다.

5. 응력 분포에서 합력 구하기

앞의 계산은 한 점에서의 응력상태를 다룬다. 실제 구조물의 면에 작용하는 힘을 구하려면 면의 각 위치에서 면력을 계산한 뒤 면적 전체에 대해 적분해야 한다.

다음 그림은 전체 3차원 큐브와 우리가 선택한 $x=0$ 면을 함께 보여준다. $x=0$ 면은 $yz$ 평면에 해당하므로 면 위의 위치를 $(y,z)$로 나타낸다. 비교를 위해 주황색으로 $z=0$인 $yx$ 면도 표시하였다. 아래의 두 예제에서는 파란색으로 표시된 $x=0$ 면에 작용하는 면력을 계산한다. 첫 번째 예제에서는 모든 면력이 $x$축과 평행하고 크기만 위치에 따라 달라지며, 두 번째 예제에서는 면력의 크기는 일정하고 방향이 달라진다.

물체 내부의 응력 텐서가 다음과 같이 $y$의 함수로 주어진다고 하자.

\[\boldsymbol\sigma(y)= \begin{bmatrix} p_0\left(1+\dfrac{y}{H}\right)&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}.\]

이 응력장은 면의 아래쪽에서 $p_0$이고 위쪽에서 $2p_0$가 되는 선형적인 수직응력 분포를 뜻한다. Cauchy 공식으로 면의 위치 $(y,z)$에서 면력은

\[\boldsymbol t(y,z)=\boldsymbol\sigma(y)[\boldsymbol n] =\begin{bmatrix} p_0\left(1+\dfrac{y}{H}\right)\\0\\0 \end{bmatrix}.\]

따라서 면력벡터들은 모두 $x$ 방향을 향하지만, 그 크기는 $y$에 따라 달라진다. 면적요소 $dA=dy\,dz$에 작용하는 미소 힘은

\[d\boldsymbol F=\boldsymbol t(y,z)\,dA\]

이고, 면 전체의 합력은

\[\begin{aligned} \boldsymbol F &=\int_A\boldsymbol t\,dA\\ &=\int_0^b\int_0^H \begin{bmatrix}p_0(1+y/H)\\0\\0\end{bmatrix}\,dy\,dz\\ &=\begin{bmatrix}\dfrac{3}{2}p_0Hb\\0\\0\end{bmatrix}. \end{aligned}\]

즉 평균 면력은

\[\boldsymbol t_{avg}=\frac{\boldsymbol F}{Hb} =\begin{bmatrix}\dfrac{3}{2}p_0\\0\\0\end{bmatrix}\]

이다. 이 결과는 평균 응력 $1.5p_0$가 단순히 임의로 정해진 값이 아니라, 실제 면력 분포를 면적에 대해 적분한 결과임을 보여준다. 예를 들어 $p_0=10$ MPa, $H=20$ mm, $b=30$ mm이면

\[F_x=\frac{3}{2}(10\ \mathrm{N/mm^2})(20\ \mathrm{mm})(30\ \mathrm{mm}) =9000\ \mathrm{N}.\]

여기서 $1\ \mathrm{MPa}=1\ \mathrm{N/mm^2}$를 사용하였다. 응력 텐서가 공간에 따라 변하면 각 위치에서 $\boldsymbol t=\boldsymbol\sigma\cdot\boldsymbol n$을 먼저 구하고, 그 결과를 적분해야 한다.

6. 면력 방향이 변하는 경우

이번에는 앞의 예시와 같은 $x=0$ 직사각형 면에서 면력의 크기는 일정하지만 방향이 $y$에 따라 서서히 바뀌는 경우를 생각하자. 방향각을

\[\theta(y)=\frac{\pi}{2}\frac{y}{H}\]

로 두면, $y=0$에서 $x$ 방향이고 $y=H$에서 $y$ 방향이 된다. 물체 내부의 대칭 응력 텐서는

\[\boldsymbol\sigma(y)= \begin{bmatrix} p_0\cos\theta(y)&p_0\sin\theta(y)&0\\ p_0\sin\theta(y)&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}\]

이고, Cauchy 공식에 따라

\[\boldsymbol t(y,z)= \begin{bmatrix} p_0\cos\theta(y)\\ p_0\sin\theta(y)\\0 \end{bmatrix}\]

이다. 따라서 $|\boldsymbol t|=p_0$이지만, 면력의 방향은 면의 높이에 따라 회전한다.

면적요소 $dA=dy\,dz$에 작용하는 미소 힘은 $d\boldsymbol F=\boldsymbol t\,dA$이고, 면 전체의 합력은

\[\begin{aligned} \boldsymbol F &=\int_0^b\int_0^H \begin{bmatrix}p_0\cos(\pi y/2H)\\p_0\sin(\pi y/2H)\\0\end{bmatrix}\,dy\,dz\\ &=\begin{bmatrix}\dfrac{2}{\pi}p_0Hb\\\dfrac{2}{\pi}p_0Hb\\0\end{bmatrix}. \end{aligned}\]

따라서 합력은 $x$ 및 $y$ 방향 성분을 모두 가지며, $F_x=F_y$이므로 그 방향은 $x$와 $y$ 사이의 45°이다. $p_0=10$ MPa, $H=20$ mm, $b=30$ mm이면

\[F_x=F_y=\frac{2}{\pi}(10\ \mathrm{N/mm^2})(20\ \mathrm{mm})(30\ \mathrm{mm}) \simeq3820\ \mathrm{N}.\]

7. 요약

개념	공식
힘	$\mathbf F = m\mathbf a$
응력 성분 의미	$\sigma_{ij}$에서 $i$는 면력 방향, $j$는 면 법선 방향이며 $t_i=\sigma_{ij}n_j$
수직 및 전단응력	면력벡터를 면 법선과 나란한 성분과 면에 평행한 성분으로 분해
응력의 단위	$1 Pa = 1 N/m²$
응력 텐서의 대칭성	$\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$, 각운동량 평형에 의한 결과
Cauchy 공식	$\boldsymbol t(\boldsymbol n)=\boldsymbol\sigma\cdot \boldsymbol n$

8. 연습 문제

8.1. 문제 1

단면적이 50 mm²인 면에 수직방향으로 5000 N의 힘이 작용한다. 수직응력을 구하라.

8.2. 문제 2

면에 평행하게 작용하는 단위면적당 힘을 무엇이라고 하는가?

8.3. 문제 3

응력 텐서 $\boldsymbol\sigma$와 단위법선벡터 $\boldsymbol n$으로 면력벡터를 나타내라.

8.4. 문제 4

각운동량 평형을 만족하는 고전적 연속체에서 응력 텐서가 갖는 대칭성을 쓰시오.

8.5. 문제 5

단면적이 $120\ \mathrm{mm^2}$인 봉에 12 kN의 균일한 인장력이 작용한다. 평균 수직응력을 구하시오.

8.6. 문제 6

단면적이 $40\ \mathrm{mm^2}$인 봉에 8 kN의 균일한 압축력이 작용한다. 인장을 양수로 두었을 때 평균 수직응력을 구하시오.

8.7. 문제 7

면적이 $25\ \mathrm{mm^2}$인 면에 평행하게 3000 N의 힘이 균일하게 작용한다. 평균 전단응력을 구하시오.

8.8. 문제 8

다음 응력 텐서에서 수직응력 성분과 서로 독립인 전단응력 성분을 쓰시오.

\[[\boldsymbol\sigma]= \begin{bmatrix} 80&15&0\\ 15&50&5\\ 0&5&30 \end{bmatrix}\ \mathrm{MPa}\]

8.9. 문제 9

본문 계산 예제의 응력 텐서에서 법선이 $\boldsymbol n=(0,1,0)^T$인 면의 면력벡터를 구하시오.

8.10. 문제 10

문제 9의 면력벡터를 수직성분과 전단성분으로 분해하고 전단응력의 크기를 구하시오.

8.11. 문제 11

다음 응력상태에서 법선이 $\boldsymbol n=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0)^T$인 면의 면력벡터를 구하시오.

\[[\boldsymbol\sigma]= \begin{bmatrix} 120&0&0\\ 0&40&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}\ \mathrm{MPa}\]

8.12. 문제 12

문제 11에서 면의 수직응력과 전단응력의 크기를 구하시오.

8.13. 문제 13

한 면의 법선 $\boldsymbol n$에 대한 면력이 $\boldsymbol t(\boldsymbol n)=(30,-10,5)^T$ MPa이다. 반대쪽 면의 법선 $-\boldsymbol n$에 대한 면력을 구하시오.

8.14. 문제 14

대칭 응력 텐서에서 $\sigma_{12}=35$ MPa, $\sigma_{13}=-10$ MPa, $\sigma_{23}=8$ MPa이다. $\sigma_{21}$, $\sigma_{31}$, $\sigma_{32}$를 구하시오.

8.15. 문제 15

응력 텐서가 주어졌을 때 법선방향이 다른 면의 면력벡터도 계산할 수 있는 이유를 Cauchy 공식을 사용해 설명하시오.

8.16. 문제 16

응력의 단위 MPa를 $\mathrm{N/mm^2}$로 나타내시오.