응력과 변형률

인장시험과 공칭·진 응력 및 변형률

• 1. 소성 역학에서 물성 정의
• 2. 정량적 물리량 표현을 위한 단위계
• 3. 일축 인장 시험
• 4. 공칭 변형률, 공칭 응력으로부터 진응력, 진변형률 구하기
• 5. 재료의 다양한 기계적 성질
• 6. 연습 문제
  • 문제 1
  • 문제 2
  • 문제 3
  • 문제 4

1. 소성 역학에서 물성 정의

• 물질에 대한 자극과 그로 인한 반응 사이의 관계를 ‘성질’로 나타낸다.

• 다양한 자극과 반응 중, 우리의 관심은 ‘기계적’ 자극과 ‘기계적’ 반응이다.

• 힘, 물질의 운동 상태 변화(위치, 속도, 가속도) 혹은 형태의 변화(변형)가 기계적 자극과 반응으로 쓰일 수 있다.

• 소성 가공 공정에서, 힘과 형태의 변화(변형)가 주된 기계적 자극/반응이다.

• 그런데 힘과 변형은 ‘크기’ 물리량이며, 우리는 그에 상응하는 ‘세기’물리량을 활용해 성질을 정의한다.

• 따라서, 힘은 응력(stress)으로 변형은 변형률(strain)으로 대신하여 사용한다.

2. 정량적 물리량 표현을 위한 단위계

• SI 단위계에서 활용하는 m (미터), kg (킬로그램), s (초)를 활용해 ‘응력’과 변형률의 단위를 파악할 수 있어야한다. 응력은 $kg/ m s^2$ 이 되며, 이를 줄여 우리는 $Pa$ (파스칼) 단위를 사용한다.
• 변형률은 단위가 없다 (dimensionless)
• 재료의 응력을 표현할 때 자주 사용되는 접두어 $M$ (메가)와 $G$(기가)는 각각 $10^6$, $10^9$을 뜻한다.

3. 일축 인장 시험

• 일축 인장 시험에서 센서를 통해 얻어진 신호를 바탕으로 힘과 위치의 변화, 즉 변위(displacement)를 측정하고 이를 각각 응력과 변형률로 바뀐다.

• 기록된 응력과 변형률을 활용해 다양한 물질의 성질을 측정할 수 있다.

• 변형률과 응력은 측정되는 방법에 따라 공칭과 진으로 나뉜다 (공칭 변형률, 공칭 응력, 진변형률, 진응력)

• 또한, 변형률과 응력 수직(normal)과 전단(shear) 성분으로 나뉜다.

4. 공칭 변형률, 공칭 응력으로부터 진응력, 진변형률 구하기

• 공칭 변형률

\[\varepsilon^{engi} = \frac{\Delta l}{l_0}\]

• 공칭 응력

\[\sigma^{engi}=\frac{F}{A_0}\]

• 진 변형률

\[\varepsilon^{true} = \ln (1+\varepsilon^{engi})\]

• 진 응력

\[\sigma^{true} = \sigma^{engi} (1+\varepsilon^{engi})\]

이 변환식은 현재 단면적을 기준으로 응력을 정의하고, 균일변형 중 체적이 일정하다는 가정을 적용하여 얻는다. 초기 표점거리와 단면적을 각각 $l_0$, $A_0$, 시험 중의 표점거리와 단면적을 각각 $l$, $A$라 하자.

응력이 단면 전체에 균일하면 이 평균값은 국소 축방향 응력과 같다. 공칭응력 $\sigma^{engi}=F/A_0$가 초기 단면적을 사용하는 데 비해, 진응력은 변형 중의 현재 단면적을 사용한다: $\sigma^{true}=F/A$.

이제 표점부가 균일하게 늘어나고 체적이 일정하다고 가정하면

\[Al=A_0l_0 \qquad\Rightarrow\qquad A=A_0\frac{l_0}{l}\]

이다. 이를 진응력의 정의에 대입하면

\[\sigma^{true}=\frac{F}{A} =\frac{F}{A_0}\frac{l}{l_0} =\sigma^{engi}\frac{l}{l_0}\]

를 얻는다. 공칭변형률의 정의에서

\[\varepsilon^{engi}=\frac{l-l_0}{l_0} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{l}{l_0}=1+\varepsilon^{engi}\]

이므로 최종적으로

\[\boxed{\sigma^{true}=\sigma^{engi}(1+\varepsilon^{engi})}\]

이다. 인장 중 단면적이 감소하므로 같은 하중에서 진응력은 공칭응력보다 커진다. $F/A$라는 정의 자체에는 체적 일정 가정이 필요하지 않지만, 공칭값만으로 진응력을 계산하는 위 변환식에는 이 가정이 필요하다. 소성변형이 지배적인 금속의 균일변형 구간에서는 체적 일정 가정이 좋은 근사이며, 탄성 체적변화가 유의미하면 그 영향을 별도로 고려해야 한다.

• 위 두 변환식은 표점부가 균일하게 변형하고 소성변형 중 체적이 거의 일정하다는 가정에서 사용한다. 네킹 이후에는 변형이 국부화되므로 현재 최소단면적을 직접 측정하지 않고 이 식을 그대로 적용하면 진응력을 정확히 구할 수 없다.

• 전체 변형률은 탄성분과 소성분으로 나눌 수 있다.

\[\varepsilon^{total}=\varepsilon^{el}+\varepsilon^{pl}\]

하중을 제거하면 이상적으로 탄성분은 회복되고 소성분은 영구변형으로 남는다.

5. 재료의 다양한 기계적 성질

• 탄성 계수 (Elastic modulus)

• 전단 탄성 계수 (Shear modulus)

• 푸아송 비 (Poisson ratio)

• 항복 강도 (yield strength)

• 인장 강도 (tensile strength)

• 연성 (ductility): 파단연신율이나 단면감소율로 나타낼 수 있다.

• 인성 (toughness): 파단까지 응력–변형률 곡선 아래의 면적으로, 단위부피당 흡수한 에너지를 나타낸다.

• 탄성계수는 초기 탄성구간의 기울기이고, 인장강도는 공칭응력 곡선의 최대값이다. 두 물성은 서로 다른 의미를 가지므로 ‘강성이 큰 재료’와 ‘강도가 큰 재료’를 구분해야 한다.

6. 연습 문제

문제 1

초기 길이가 100 mm인 시편이 110 mm로 늘어났다. 공칭변형률을 구하라.

문제 2

초기 단면적이 20 mm²이고 인장력이 2000 N이다. 공칭응력을 구하라.

문제 3

공칭변형률이 0.10일 때 균일변형을 가정하여 진변형률을 구하라.

문제 4

항복강도와 인장강도의 의미를 각각 한 문장으로 설명하라.