인장시험의 최대하중과 Considère 조건
이번 강의가 끝나면 다음을 할 수 있어야 한다.
인장시험편이 항복한 뒤에도 처음에는 표점부 전체가 비교적 고르게 늘어난다. 이를 균일변형(uniform deformation)이라 한다. 변형이 더 진행되면 어느 한 부분의 단면이 주변보다 빠르게 감소하기 시작한다. 이와 같이 변형이 좁은 영역에 집중되는 현상을 네킹(necking)이라 한다.
네킹은 인장변형이 시편 전체에 균일하게 분포하지 않고 특정 위치에 집중되는 소성불안정(plastic instability) 현상이다.
네킹이 시작된 뒤에는 목 부분의 단면적이 빠르게 감소하고, 대부분의 추가 변형이 이 영역에 집중된다. 결국 목 부분에서 파단(fracture)이 발생한다.
네킹과 파단은 같은 사건이 아니다.
따라서 네킹이 시작된 뒤에도 어느 정도의 추가 변형이 일어난 다음 파단될 수 있다.
공칭응력 $s$는 하중 $F$를 초기 단면적 $A_0$로 나눈 값이다.
\[s=\frac{F}{A_0}\]$A_0$는 시험 중 변하지 않는 상수이므로 공칭응력이 최대가 되는 지점은 하중이 최대가 되는 지점과 같다.
\[s_{\max}=\frac{F_{\max}}{A_0}\]일반적인 인장시험에서 균일 네킹(diffuse necking)은 최대하중 부근에서 시작된다. 이때의 공칭응력을 인장강도(ultimate tensile strength, UTS)라고 한다.
공칭응력은 최대점 이후 감소하지만, 이것이 재료 자체의 유동응력이 반드시 감소했다는 뜻은 아니다. 실제 단면적이 급격히 감소하여 시험편이 지탱하는 전체 하중이 줄었기 때문일 수 있다.
진응력은 현재 단면적 $A$를 사용한다.
\[\sigma=\frac{F}{A}\]따라서 네킹을 이해하려면 재료의 강도 증가와 현재 단면적 감소를 함께 살펴봐야 한다.
인장 중 하중은 다음과 같다.
\[F=\sigma A\]소성변형이 증가하면 두 가지 변화가 동시에 일어난다.
변형경화 효과가 단면 감소 효과보다 크면 하중은 계속 증가하며 변형이 비교적 균일하게 유지된다. 반대로 단면 감소의 영향이 더 커지면 한 부분의 단면 감소가 스스로 가속된다.
예를 들어 어떤 위치가 주변보다 조금 가늘어졌다고 생각하자. 같은 하중에서 이 위치의 진응력은 더 커지고, 따라서 소성변형이 더 많이 발생한다. 그러면 단면이 더 작아지고 응력이 다시 증가한다. 변형경화가 이 과정을 충분히 억제하지 못하면 네킹이 성장한다.
네킹 시작을 최대하중 조건으로 생각하자. 진변형률을 $\varepsilon$이라 하면 최대하중에서
\[\frac{dF}{d\varepsilon}=0\]이다. 하중 $F=\sigma A$를 미분하면
\[\frac{dF}{d\varepsilon} =A\frac{d\sigma}{d\varepsilon} +\sigma\frac{dA}{d\varepsilon}\]이다.
균일한 일축 소성변형 중 체적이 일정하다고 가정하자.
\[AL=A_0L_0\]진변형률의 정의 $\varepsilon=\ln(L/L_0)$를 사용하면
\[L=L_0e^\varepsilon, \qquad A=A_0e^{-\varepsilon}\]를 얻는다. 따라서
\[\frac{dA}{d\varepsilon}=-A\]이다. 이를 하중의 미분식에 대입하면
\[\frac{dF}{d\varepsilon} =A\left(\frac{d\sigma}{d\varepsilon}-\sigma\right)\]이다. 최대하중에서 $dF/d\varepsilon=0$이고 $A\neq0$이므로
\[\boxed{\frac{d\sigma}{d\varepsilon}=\sigma}\]를 얻는다. 이것이 일축인장에서의 Considère 조건이다.
이 유도에서는 탄성변형을 무시하고 진변형률을 소성변형률로 근사한다. 탄성변형까지 정확히 포함하면 식을 더 세심하게 다뤄야 하지만, 금속의 충분한 소성변형 구간에서는 이 근사가 유용하다.
앞선 변형경화 강의에서 Hollomon 법칙을 다음과 같이 정의하였다.
\[\sigma=K(\varepsilon^{pl})^n\]탄성변형을 무시하여 $\varepsilon\approx\varepsilon^{pl}$로 두면
\[\sigma=K\varepsilon^n\]이다. 이를 미분하면
\[\frac{d\sigma}{d\varepsilon} =Kn\varepsilon^{n-1}\]이고, Considère 조건을 적용하면
\[Kn\varepsilon^{n-1}=K\varepsilon^n\]이다. $K\varepsilon^{n-1}$을 소거하면
\[\boxed{\varepsilon_{neck}=n}\]을 얻는다. 즉, 이상적인 Hollomon 재료에서는 네킹이 시작될 때의 균일진변형률이 변형경화지수 $n$과 같다.
예를 들어 $n=0.20$이면
\[\varepsilon_{neck}\approx0.20\]이다. 이는 변형경화 능력이 큰 재료가 일반적으로 네킹을 더 늦게 시작한다는 뜻이다. 다만 이 관계는 Hollomon 법칙, 균일한 일축변형, 체적 일정과 탄성변형 무시라는 가정 아래에서 성립한다.
진변형률과 공칭변형률의 관계는
\[\varepsilon=\ln(1+e)\]이다. 따라서 네킹 시작 진변형률이 $n$이면 공칭 균일변형률은
\[\boxed{e_{uniform}=e^n-1}\]이다. 예를 들어 $n=0.20$이면
\[e_{uniform}=e^{0.20}-1\approx0.221\]이므로 이상적인 조건에서 약 22.1%의 균일연신율에 해당한다.
여기서 지수함수의 밑 $e$와 공칭변형률 기호 $e$가 혼동될 수 있다. 식의 $e^n$에서 $e$는 자연상수이고, $e_{uniform}$의 $e$는 공칭변형률을 뜻한다.
네킹 이전에는 표점부의 변형이 비교적 균일하므로
\[\sigma=s(1+e), \qquad \varepsilon=\ln(1+e)\]를 사용하여 공칭값을 진값으로 변환할 수 있다. 네킹 이후에는 다음 이유로 이 변환의 정확성이 떨어진다.
네킹 이후의 평균 축방향 진응력을 단순히 계산하려면
\[\sigma_{avg}=\frac{F}{A_{min}}\]처럼 현재 최소단면적 $A_{min}$을 사용한다. 그러나 이 값도 목 내부의 응력 삼축성을 완전히 보정한 재료의 일축 유동응력은 아니다. 정밀한 유동곡선 측정에는 단면 형상 측정, Bridgman 보정 또는 유한요소 역해석 등이 필요할 수 있다.
네킹은 인장시험에만 나타나는 흥미로운 현상이 아니라 판재 성형과 제품 설계에도 직접 연결된다.
이번 강의의 Considere 조건은 일축인장의 균일 네킹을 설명하는 기초 조건이다. 판재의 다축 변형에서 발생하는 국부 네킹은 응력상태와 변형경로를 함께 고려해야 한다.
Hollomon 재료에 대해 진변형률이 증가할 때 유동응력, 단면적과 하중이 어떻게 변하는지 계산해 보자. 초기 단면적은 $100\ \mathrm{mm^2}$, $K=600$ MPa, $n=0.20$으로 둔다.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
true_strain = np.linspace(0.001, 0.60, 500)
strength_coefficient = 600.0 # MPa
hardening_exponent = 0.20
initial_area = 100.0 # mm^2
true_stress = strength_coefficient * true_strain**hardening_exponent
current_area = initial_area * np.exp(-true_strain)
load = true_stress * current_area # N because MPa = N/mm^2
necking_strain = hardening_exponent
necking_index = np.argmax(load)
print(f"Calculated maximum-load strain: {true_strain[necking_index]:.3f}")
print(f"Considere prediction: {necking_strain:.3f}")
수치적으로 계산한 최대하중 변형률이 $n=0.20$과 가까운지 확인한다.
유동응력은 계속 증가하지만 하중은 최대점 이후 감소할 수 있다. 두 값을 별도의 Axes에 그려 비교하자.
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4))
axes[0].plot(true_strain, true_stress, color="tab:blue")
axes[0].axvline(necking_strain, color="black", linestyle="--")
axes[0].set_xlabel("True strain")
axes[0].set_ylabel("True stress (MPa)")
axes[0].set_title("Flow Stress")
axes[0].grid(True, alpha=0.3)
axes[1].plot(true_strain, load / 1000.0, color="tab:red")
axes[1].axvline(necking_strain, color="black", linestyle="--", label="Necking")
axes[1].set_xlabel("True strain")
axes[1].set_ylabel("Load (kN)")
axes[1].set_title("Tensile Load")
axes[1].grid(True, alpha=0.3)
axes[1].legend()
fig.tight_layout()
plt.show()
왼쪽 그림에서는 변형경화 때문에 진응력이 계속 증가한다. 오른쪽 그림에서는 진변형률이 약 0.20일 때 하중이 최대가 되고 이후 감소한다. 이것이 “공칭응력이 감소하므로 재료가 즉시 약해졌다”라고 해석하면 안 되는 이유다.
hardening_exponents = np.array([0.10, 0.20, 0.30, 0.40])
uniform_true_strain = hardening_exponents
uniform_engineering_strain = np.exp(hardening_exponents) - 1.0
for exponent, elongation in zip(
hardening_exponents,
uniform_engineering_strain,
):
print(f"n = {exponent:.2f}: uniform elongation = {100 * elongation:.1f}%")
이상적인 Hollomon 재료에서는 $n$이 증가할수록 균일연신율도 증가한다.
네킹과 파단의 차이를 간단히 설명하시오.
공칭응력이 최대가 되는 지점이 최대하중 지점과 같은 이유를 설명하시오.
Considère 조건을 쓰시오.
Hollomon 경화지수가 $n=0.25$인 재료의 네킹 시작 진변형률을 추정하시오.
$n=0.25$일 때 공칭 균일변형률과 균일연신율(%)을 계산하시오.
네킹 이전에 하중이 증가하기 위한 조건을 변형경화율 $d\sigma/d\varepsilon$과 진응력 $\sigma$를 사용하여 쓰시오.
네킹 이후에 $\sigma=s(1+e)$를 그대로 적용하기 어려운 이유를 쓰시오.