소성변형에 따른 금속의 유동응력 변화
이번 강의가 끝나면 다음을 할 수 있어야 한다.
금속을 항복 이후까지 소성변형시키려면 변형이 증가할수록 일반적으로 더 큰 응력이 필요하다. 이 현상을 변형경화(strain hardening) 또는 가공경화(work hardening)라 한다.
변형경화는 소성변형이 누적됨에 따라 금속의 유동응력이 증가하는 현상이다.
여기서 유동응력(flow stress)은 재료가 현재 상태에서 소성변형을 계속하는 데 필요한 응력이다. 처음 항복할 때의 응력만을 뜻하지 않는다.
변형경화를 전위(dislocation)의 관점에서 간단히 설명하면 다음과 같다.
따라서 냉간가공된 금속은 일반적으로 가공 전보다 강도(strength)와 경도(hardness)가 증가하고 연성은 감소한다. 이 설명은 변형경화의 대표적인 미세조직적 해석이며, 실제 거동에는 결정구조, 온도, 변형속도와 회복 등의 영향도 함께 작용한다.
인장시험에서 항복 이후 최대하중에 도달하기 전까지 응력이 증가하는 구간에서 변형경화를 관찰할 수 있다. 재료의 소성 거동을 식으로 나타낼 때는 일반적으로 공칭값보다 진응력과 진변형률을 사용한다.
균일변형 중 부피가 일정하다고 가정하면 공칭응력 $s$, 공칭변형률 $e$로부터
\[\sigma=s(1+e), \qquad \varepsilon=\ln(1+e)\]와 같이 진응력 $\sigma$와 진변형률 $\varepsilon$을 구할 수 있다.
예를 들어 $e=0.10$, $s=300$ MPa이면
\[\varepsilon=\ln(1.10)\approx0.0953, \qquad \sigma=300(1.10)=330\ \mathrm{MPa}\]이다.
이 변환은 시편이 균일하게 늘어나는 구간에서 사용한다. 네킹(necking)이 시작되면 변형이 국부적으로 집중되므로 단순한 변환식만으로 국부 진응력을 정확히 구할 수 없다.
인장시험에서 측정한 전체 진변형률은 탄성변형률과 소성변형률의 합이다.
\[\varepsilon=\varepsilon^{el}+\varepsilon^{pl}\]일축 탄성관계 $\varepsilon^{el}=\sigma/E$를 사용하면 소성변형률은
\[\varepsilon^{pl}=\varepsilon-\frac{\sigma}{E}\]이다. 여기서 $E$는 영률(Young’s modulus)이다.
예를 들어 $E=200$ GPa인 금속이 $\sigma=400$ MPa, $\varepsilon=0.020$의 상태에 있다면
\[\varepsilon^{el}=\frac{400}{200,000}=0.002, \qquad \varepsilon^{pl}=0.020-0.002=0.018\]이다. 응력과 영률의 단위는 모두 MPa로 통일하였다.
변형경화식은 보통 유동응력과 누적된 소성변형률의 관계를 나타낸다. 다축응력 상태에서는 이를 동등응력 $\bar\sigma$와 동등소성변형률 $\bar\varepsilon^{pl}$의 관계로 확장한다.
금속의 균일 소성변형 구간을 나타내는 간단한 경험식으로 Hollomon 법칙을 자주 사용한다.
\[\boxed{\sigma=K(\varepsilon^{pl})^n}\]예를 들어 $K=600$ MPa, $n=0.20$인 재료가 $\varepsilon^{pl}=0.10$까지 변형되었다면
\[\sigma =600(0.10)^{0.20} \approx379\ \mathrm{MPa}\]이다.
Hollomon 식의 양변에 자연로그를 취하면
\[\ln\sigma=\ln K+n\ln\varepsilon^{pl}\]이 된다. 따라서 $\ln\varepsilon^{pl}$을 $x$축, $\ln\sigma$를 $y$축으로 그렸을 때 직선의 기울기가 $n$이고 절편이 $\ln K$이다.
Hollomon 식은 간단하지만 $\varepsilon^{pl}=0$에서 유동응력이 0이 된다는 한계가 있다. 그러므로 초기 항복 부근보다 충분한 소성변형이 진행된 구간을 근사하는 데 더 적합하다.
Hollomon 식을 소성변형률로 미분하면
\[\frac{d\sigma}{d\varepsilon^{pl}} =Kn(\varepsilon^{pl})^{n-1}\]이다. 이 기울기가 양수이면 소성변형이 증가할수록 유동응력이 증가한다.
같은 $K$와 소성변형률에서 $n$이 큰 재료는 대체로 더 강한 변형경화를 보인다. 또한 인장시험에서 변형경화 능력이 크면 국부적인 단면 감소에 저항하여 균일변형을 더 오래 유지할 수 있다.
다만 $K$와 $n$은 독립적인 재료상수이므로 $n$만 보고 두 재료의 모든 응력 수준을 비교해서는 안 된다. 실제 곡선은 $K$와 $n$을 함께 사용해 비교해야 한다.
앞선 소성일 강의에서 단위 부피당 소성일 증분을
\[dW^{pl}=\sigma\,d\varepsilon^{pl}\]로 정의하였다. 따라서 소성변형률이 0에서 $\varepsilon^{pl}$까지 증가할 때 누적 소성일은 유동응력–소성변형률 곡선 아래의 면적이다.
\[W^{pl}=\int_0^{\varepsilon^{pl}}\sigma\,d\varepsilon^{pl}\]Hollomon 식을 대입하면
\[W^{pl} =\int_0^{\varepsilon^{pl}}K(\varepsilon^{pl})^n\,d\varepsilon^{pl} =\frac{K}{n+1}(\varepsilon^{pl})^{n+1}\]이다. 예를 들어 $K=600$ MPa, $n=0.20$이고 최종 소성변형률이 0.10이면
\[W^{pl}\approx31.5\ \mathrm{MPa}=31.5\ \mathrm{MJ/m^3}\]이다. 응력–변형률 곡선 아래 면적은 단위 부피당 에너지이며, $1\ \mathrm{MPa}=1\ \mathrm{MJ/m^3}$이다.
초기 항복응력을 자연스럽게 포함하려면 Swift 식을 사용할 수 있다.
\[\sigma=K(\varepsilon_0+\varepsilon^{pl})^n\]여기서 $\varepsilon_0$는 초기 소성변형률 오프셋이다. 매우 큰 변형에서 유동응력이 일정한 값에 가까워지는 재료에는 Voce 식을 사용할 수 있다.
\[\sigma=\sigma_s-(\sigma_s-\sigma_0) \exp(-b\varepsilon^{pl})\]이 시간에는 세 식을 모두 외우기보다 다음 차이에 주목한다.
| 경화식 | 특징 |
|---|---|
| Hollomon | 간단한 거듭제곱식, 초기 항복 표현에 한계 |
| Swift | 초기 소성변형률 오프셋을 포함 |
| Voce | 큰 변형에서 유동응력이 포화값에 접근 |
또한 이 식들은 현재까지 누적된 소성변형의 크기로 유동응력을 나타내는 등방경화(isotropic hardening)의 기초 형태다. 하중 방향이 바뀔 때 나타나는 Bauschinger 효과를 설명하려면 이동경화(kinematic hardening)와 같은 추가 개념이 필요하다.
변형경화는 소성가공 중 필요한 하중과 가공 후 성질을 함께 변화시킨다.
즉, 변형경화는 단순히 “재료가 강해지는 현상”이 아니라 공정에 필요한 힘과 최종 제품의 성질을 연결하는 핵심 재료거동이다.
$K=600$ MPa이고 $n=0.10$, $0.20$, $0.30$인 세 경우를 비교해 보자.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plastic_strain = np.linspace(0.001, 0.30, 200)
strength_coefficient = 600.0 # MPa
hardening_exponents = [0.10, 0.20, 0.30]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4))
for exponent in hardening_exponents:
flow_stress = strength_coefficient * plastic_strain**exponent
ax.plot(
plastic_strain,
flow_stress,
label=f"n = {exponent:.2f}",
)
ax.set_xlabel("Plastic strain")
ax.set_ylabel("Flow stress (MPa)")
ax.set_title("Hollomon Hardening Law")
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.legend()
fig.tight_layout()
plt.show()
그래프를 보면 $n$에 따라 곡선의 모양이 달라진다. 다만 모든 곡선에 같은 $K$를 사용했기 때문에 작은 변형률 구간의 응력 순서는 단순히 “$n$이 클수록 크다”가 아니다. 이 점이 $K$와 $n$을 함께 비교해야 하는 이유다.
다음은 소성변형 구간에서 얻었다고 가정한 진응력–진소성변형률 데이터다. 로그를 취하고 np.polyfit()으로 직선을 맞추면 $n$과 $K$를 구할 수 있다.
plastic_strain_data = np.array([0.02, 0.04, 0.08, 0.12, 0.18])
true_stress_data = np.array([280, 322, 370, 402, 435]) # MPa
log_strain = np.log(plastic_strain_data)
log_stress = np.log(true_stress_data)
hardening_exponent, log_strength_coefficient = np.polyfit(
log_strain,
log_stress,
1,
)
strength_coefficient = np.exp(log_strength_coefficient)
print(f"n = {hardening_exponent:.3f}")
print(f"K = {strength_coefficient:.1f} MPa")
구한 상수로 예측 곡선을 그리고 실험값과 비교하자.
strain_for_curve = np.linspace(0.01, 0.20, 200)
predicted_stress = (
strength_coefficient * strain_for_curve**hardening_exponent
)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4))
ax.scatter(
plastic_strain_data,
true_stress_data,
color="black",
label="Experimental data",
)
ax.plot(
strain_for_curve,
predicted_stress,
color="tab:red",
label="Hollomon fit",
)
ax.set_xlabel("Plastic strain")
ax.set_ylabel("True stress (MPa)")
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.legend()
fig.tight_layout()
plt.show()
모델이 모든 측정점을 정확히 지나지 않아도 전체적인 변형경화 경향을 잘 나타내는지 확인해야 한다. 적용할 변형률 범위 밖으로 지나치게 외삽하지 않도록 주의한다.
변형경화를 한 문장으로 설명하시오.
공칭변형률이 0.20일 때 진변형률을 계산하시오.
$E=200$ GPa, $\sigma=300$ MPa, 전체 진변형률이 0.010일 때 소성변형률을 구하시오.
Hollomon 식에서 $K$와 $n$의 이름을 각각 쓰시오.
$K=500$ MPa, $n=0.20$, $\varepsilon^{pl}=0.10$일 때 유동응력을 계산하시오.
냉간가공으로 변형경화된 금속의 강도, 경도와 연성은 일반적으로 어떻게 변하는가?
Hollomon 식을 로그 형태의 직선식으로 바꾸고, 직선의 기울기가 무엇인지 쓰시오.