소성가공
금속 소성 가공 역학 기초
1. 선형 탄성 (linear elasticity) 거동
- 힘->응력
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변위->변형류
- 응력과 변형률로 표현된 자극과 반응 사이의 관계는?
- 많은 금속 재료의 경우, 매우 높은 수준의 응력을 가해지는 게 아니라면 탄성 거동만을 보인다.
- 즉 응력이 가해지는 동안에만 변형률이 보이고, 응력이 사라지면 변형률이 사라진다.
- 그리고 많은 금속 재료들은 탄성을 보일 때, 응력과 변형률이 선형 비례한다.
- 위 거동을 만족시키는 응력과 변형률의 관계는 아래와 같이 표현된다.
\[\sigma=E\varepsilon\] 2. Young’s modulus (영률)
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Hooke의 법칙에서 보이는 스칼라 $E$를 영률이라 부른다.
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변형률이 단위가 없으므로, 영률은 응력과 같은 단위를 가진다 ($Pa, MPa$ 등)
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영률은 재료의 성질이다. 강철과 고무에 동일한 응력을 가했을 때, 강철의 변형률이 훨씬 작다. 따라서 강철의 영률이 고무의 영률에 비해 매우 크다.
3. 포아송 효과 (Poisson effect)
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인장하는 길이가 $\mathbf e_1$ 방향일 때, 수직 변형이 $\mathbf e_1$축으로만 발생하지 않는다. 그에 수직한 방향, 예를 들어 $\mathbf e_2$로는 길이가 줄어드는 수직 변형이 발생할 수 있다.
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이럴 때, 적어도 두 수직 변형률 성분 $\varepsilon_{11}$, $\varepsilon_{22}$가 0이 아님을 알 수 있다. 더욱 구체적으로는 아래와 같은 값의 범위를 가지게 된다.
- $\varepsilon_{11}>0$
- $\varepsilon_{22}<0$
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이때 발생하는 두 수직 변형률 성분의 비를 poisson 비로 정의한다.
\[\nu=-\frac{\varepsilon_{22}}{\varepsilon_{11}}\] 4. 3차원으로 확장하여 표현되는 Hooke의 법칙
- 응력텐서 $\mathbf \sigma$와 변형률 텐서 $\mathbf \varepsilon$의 선형 관계를 표현해야 하겠다. 이를 아래와 같이 표현할 수 있다.
\[\sigma_{ij} = \sum_{k}^3\sum_{l}^3 E_{ijkl} \varepsilon _{kl} \text{ with } i=1,2,3\ \ \ j=1,2,3\] - 응력과 변형률 텐서는 각각 랭크2의 매트릭스로, 탄성계수 텐서 $E$는 랭크 4의 매트릭스로 표현됨을 알 수 있다.
5. 등방성 재료의 경우
- 재료의 물성이 방향에 관계 없을 때, 앞선 3차원 Hooke의 법칙에 활용된 랭크4의 $E$텐서를 두 스칼라 $\lambda$와 $G$로 표현할 수 있다.
\[\mathbf \sigma = \lambda tr(\mathbf \varepsilon) \mathbf I + 2G \mathbf \varepsilon\] \[\sigma_{ij} = \lambda \delta_{ij} \sum_k^3(\varepsilon_{kk}) + 2G\varepsilon_{ij}, \text{ with } i=1,2,3\ \ \ j=1,2,3\] -
$tr(\mathbf\varepsilon)$는 체적 변형률이며 아래와 같이 정의된다. \(tr(\mathbf\varepsilon)=\sum_k^3\varepsilon_{kk}=\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}\)
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$\mathbf I$는 랭크2 단위 텐서이며, 아래와 같은 매트릭스 형태로 표현된다.
\[\mathbf I = \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \\ \end{bmatrix}\] 6. 선형 등방 Hooke 법칙 상세 설명
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위 Hooke의 법칙에서
- $\lambda tr(\mathbf \varepsilon) \mathbf I$은 체적변형과 관련된 응력
- $2G \mathbf \varepsilon$은 형태 변화에 의한 응력으로 볼 수 있다.
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응력 성분을 각기 풀어 표현하면
- 수직 성분의 경우 \(\sigma_{11}=\lambda (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}) + 2G\varepsilon_{11}\)
\[\sigma_{22}=\lambda (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}) + 2G\varepsilon_{22}\] \[\sigma_{33}=\lambda (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}) + 2G\varepsilon_{33}\] \[\sigma_{12}=2G\varepsilon_{12}\] \[\sigma_{13}=2G\varepsilon_{13}\] \[\sigma_{23}=2G\varepsilon_{23}\] 7. 선형 등방 Hooke 법칙에서의 상수 관계
- 등방성을 고려하지 않은 Hooke 법칙에서 랭크 4의 탄성계수 텐서$E_{ijkl}$가 81개의 성분을 가질 수 있는 것으로 보인다 (3x3x3x3=81).
- 하지만 등방성을 고려한 Hooke의 법칙에서는 단 2개의 스칼라 값을 활용했다 ($\lambda, G$)
- 사실 $\lambda$와 $G$ 의 패어 보다 영률 $E$와 포아송 비 $\nu$를 활용하는 경우가 더 많다. 그리고 이는 $G$와 $\lambda$와 관계된다.
\[G=\frac{E}{2(1+\nu)}\] \[\lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\] 8. Voigt 표현법
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삼차원으로 확장하여 표현한 Hooke의 법칙은 아래와 같다. \(\sigma_{ij} = \sum_{k}^3\sum_{l}^3 E_{ijkl} \varepsilon _{kl} \text{ with } i=1,2,3\ \ \ j=1,2,3\)
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응력과 변형률 텐서 모두 6개의 독립 성분만을 가지므로, 6성분을 가지는 랭크1의 행렬로 표현하여 표기하기도 한다.
-
그러한 방법중 Voigt표현을 활용하여 아래와 같이 표현한다.
\[\mathbf\sigma^{voigt}= \begin{bmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22}\\ \sigma_{33}\\ \sigma_{23}\\ \sigma_{13}\\ \sigma_{12}\\ \end{bmatrix}\] \[\mathbf\varepsilon^{voigt}= \begin{bmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22}\\ \varepsilon_{33}\\ 2\varepsilon_{23}\\ 2\varepsilon_{13}\\ 2\varepsilon_{12}\\ \end{bmatrix}\] - 위 방법을 확장하며 Hooke의 법칙을 새로 인덱스로 표기하면
$$
\sigma_i^{voigt}=\sum_{j}^6 E_{ij}^{voigt}\varepsilon_j^{voigt}
\[로 간략히 표기할 수 있겠다. 그리고 이때 탄성계수 텐서가 2랭크 $6\times6$행렬 형태로 표기된다. - 등방성 재료에서 $E_{ij}^{voigt}$의 각 성분은 아래와 같다.\] \mathbf E^{voigt}= \begin{bmatrix} \lambda + 2G & \lambda &\lambda &0 &0 &0
\lambda &\lambda + 2G & \lambda &0 &0 &0
\lambda & \lambda &\lambda + 2G &0 &0 &0
0 & 0 &0 &G &0 &0
0 & 0 &0 &0 &G &0
0 & 0 &0 &0 &0 &G
\end{bmatrix}
\[# 9. Compliance matrix - Hooke의 법칙을 역으로 표현할 수 있다.\] \varepsilon=\mathbf S \mathbf \sigma
\[- Voigt 표현을 활용하면\] \mathbf S^{voigt}= \begin{bmatrix} 1/ E& -\nu/E & -\nu/E &0 &0 &0
-\nu/E &1/E & -\nu/E &0 &0 &0
-\nu/E & -\nu/E &1/E &0 &0 &0
0 & 0 &0 &1/G &0 &0
0 & 0 &0 &0 &1/G &0
0 & 0 &0 &0 &0 &1/G
\end{bmatrix}
$$
10. Plane stress와 plane strain 조건에서의 Hooke 법칙
\[\begin{bmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22}\\ \sigma_{12}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{E}{1-\nu^2} & \frac{E}{1-\nu^2} & 0 \\ \frac{E}{1-\nu^2} & \frac{E}{1-\nu^2} & 0 \\ 0 & 0 & G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22}\\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}\]