소성가공

금속 소성 가공 역학 기초

• 1. 위치(position)와 위치의 변화(변위; displacement)
• 2. 변형과 변위장
• 3. 강체 운동 (Rigid Body Motion)
• 5. 변위장 (displacement field)
• 6. 1차원 공간에서의 변형률
• 7. 1차원 예제
• 8. 2차원 공간에서의 변위
• 9. 2차원 예제
• 10. 요약

1. 위치(position)와 위치의 변화(변위; displacement)

• 3차원 공간 상의 위치를 벡터로 표현 가능하다.

\[\mathbf x=x_1\mathbf e_1+x_2\mathbf e_2+x_3\mathbf e_3\]

• 변형전 위치: $\mathbf X$

• 변형후 위치: $\mathbf x$ 라 하자.

• 이럴 경우 변위 $\mathbf u$는

\[\mathbf u = \mathbf x- \mathbf X\]

2. 변형과 변위장

• 변형은 내부의 상대적인 위치가 바뀌는 현상이다.

• 중요한 차이

상황	변형 발생 여부
물체 전체가 평행이동	X
물체 전체가 회전	X
길이가 늘어남	O
각도가 변함	O

3. 강체 운동 (Rigid Body Motion)

• 아래의 두 상황에서 변형률이 0이다.

  • 단순 평행 이동 (translation)

  • 회전

5. 변위장 (displacement field)

• 변위는 위치마다 다를 수 있다.

\[\mathbf u(위치) =\mathbf u (\mathbf x)=\mathbf u (x_1,x_2,x_3)\]

혹은 변형 전의 위치를 기준으로

\[\mathbf u(위치) =\mathbf u (\mathbf X)=\mathbf u(X_1,X_2,X_3)\]

6. 1차원 공간에서의 변형률

• 따라서 위치는 스칼라 $x$.

• 변위도 scalar가 되며 아래와 같다

  \[u=x-X\]

• 두 점 a와 b의 초기 위치를 $X^a, X^b$, 변형 이후의 위치를 $x^a, x^b$라 할 때, 두 점 사이의 초기 거리는

\[X^b-X^a\]

• 변형 이후의 두 점사이의 거리는

\[x^b-x^a\]

• 변형 전후의 두 점 사이의 거리 변화는?

\[(x^b-x^a) - (X^b-X^a)\]

• 변형 이후의 두점 사이의 거리를 변형 전의 두점 사이의 거리로 나누면

\[\frac{(x^b-x^a) - (X^b-X^a)} {x^b-x^a}=\frac{u^b-u^a}{x^b-x^a}\]

• a와 b점이 가까워 지면??

\[\lim_{a \rarr b} \frac{u^b-u^a}{x^b-x^a}=\frac{du}{dx}\]

• 엔지니어링 변형률은

\[\varepsilon = \Delta l / l_0\]

• 위 둘의 유사성을 찾아보자.

7. 1차원 예제

• \[u(x) = 0.01 x\]
• \[\frac{du}{dx} = 0.01\]

• 다음 환경에서 변형률은 얼마인가? \(u(x)=0\)

• 다음 환경에서 변형률은 얼마인가? \(u(x)=0.02\)

8. 2차원 공간에서의 변위

• 변위 장 (displacement field)은 위치 장(position field)에 대한 함수.

\[\mathbf u(\mathbf x)\]

• 변위 $\mathbf u$도 2차원 벡터, 위치 $\mathbf x$도 2차원 벡터이다.

\[\mathbf u = [u_1,u_2]\] \[\mathbf x = [x_1,x_2]\]

• 2차원에서의 수직 변형률 성분은

\[\varepsilon_{11}=\partial u_1/\partial x_1\] \[\varepsilon_{22}=\partial u_2/\partial x_2\]

• 2차원에서의 전단 변형률 성분은

\[\varepsilon_{12}=\frac{1}{2}(\partial u_1/\partial x_2+\partial u_2/\partial x_1)\] \[\varepsilon_{21}=\frac{1}{2}(\partial u_2/\partial x_1+\partial u_1/\partial x_2)\]

위 두 식의 우변은 사실 같다. 따라서,

\[\varepsilon_{12}=\varepsilon_{21}\]

9. 2차원 예제

• 아래의 상황이라면..

\[u_1(x_1,x_2)=0.5x_1 + 0x_2\] \[u_2(x_1,x_2)=0x_1-0.5x_2\]

• $\varepsilon_{11}$ 값은?

• $\varepsilon_{12}$ 값은?

• $\varepsilon_{21}$ 값은?

• $\varepsilon_{22}$ 값은?

• 아래의 상황이라면…

\[u_1(x_1,x_2)=0.5x_1x_2\] \[u_2(x_1,x_2)=0.01x_2\]

• 변형률이 위치에 따라 달리지는 것을 보일 수 있나?

10. 요약

개념	공식
변위	$u = x - X$
1차원 변형률	$\varepsilon = du/dx$
$\mathbf{e}_1$방향 수직변형률	$\varepsilon_{11} = \partial u_1/\partial x_1$
$\mathbf{e}_2$방향 수직변형률	$\varepsilon_{22} = \partial u_2/\partial x_2$
전단변형률	$\varepsilon_{12} =0.5(\partial u_1/\partial x_2+\partial u_2/\partial x_1)$