금속 소성 가공 역학 기초
물리량은 때로는 스칼라, 벡터로 표현해야 할 때가 있다.
더욱 일반적인 물리량 표현법은 ‘텐서’이다. 텐서는 스칼라 벡터를 모두 통합하여 설명한다.
텐서의 가장 큰 특징은 ‘좌표계’에 상관없이 동일한 물리량을 표현한다는 점이다 (좌표계에 무관한 성질)
(advanced concept) 텐서가 좌표계에 독립적인 성질을 갖는 방법은, 좌표계에 따라 ‘변환’하기 때문에 가능하다.
자극, 반응, 그리고 물질의 성질 모두 ‘물리량’으로써 그 세기나 크기를 표현한 ‘값’(value)으로 표현된다.
스칼라(scalar) 물리량은 해당 물리량이 ‘방향’과 관련된 성질을 갖지 않을 때 활용된다. (예: 질량, 밀도)
만약 물리량이 ‘방향’에 따라 달라진다면 (방향성을 가진다면), 스칼라 물리량만으로 온전히 물리량을 나타낼 수 없다.
그럴 경우, 벡터를 활용해 물리량의 세기/크기 뿐만 아니라 그 방향성(directionality)도 표현할 수 있겠다.
때로는 벡터 물리량만으로 그 방향성을 완전히 표현하기 힘든 물리량이 있으며, 이럴 때 우리는 ‘텐서’를 활용한다.
응력과 변형률은 대표적인 텐서 물리량이다.
텐서 물리량의 ‘연산’을 위해 이를 종종 매트릭스나 벡터로 나타내어 계산한다.
알파벳이나 그리스 알파벳 기호를 활용해 물리량을 표기한다. ($m$, $f$, $\alpha$, $\beta$ 등)
굵은 글씨체 (bold-face)를 활용해 ‘방향’성을 가진 물리량을 표기한다. ($a, \mathbf a, \alpha, {\mathbf \alpha}$)
윗첨자 혹은 아랫첨자를 활용해 벡터나 텐서, 혹은 매트릭스의 성분을 구분한다. ($a_1, \alpha^1, \beta_3, \gamma^1$ 등)
좌표계는 서로 구분되는 여러 좌표축(axis)으로 이루어진다.
‘방향성’을 가진 물리량을 표현하기 위해서는 좌표계가 필요하다.
좌표계는 순전히 ‘편의’에 의해 선택되며 우리는 ‘직각좌표계’를 중심으로 활용하겠다. 그외 다양한 좌표계도 있음을 잊지 말자.
$1 + 3$
$3 + b$
$a + c$
$1 - 3$
$3 - b$
$a - c$
$1 \times 3$
$3 \times b$
$a \times c$
혹은 문자로만 표현될 때, 곱셈 기호 $\times$를 생략하기도 한다.
$1 \div 3$
$3 / b$
$\frac{a}{c}$
벡터는 스칼라처럼 크기를 가지며 거기에 ‘방향’도 가진다.
한 벡터 $\mathbf a$ 의 크기는 아래와 같이 표기된다. $|\mathbf a|$
한 벡터 $\mathbf a$가 세 성분 $a_1, a_2, a_3$로 이루어진다면 그 크기는 아래와 같이 정의된다.
\[|\mathbf a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\]위를 줄여서 아래와 같이 종종 표기한다.
\[|\mathbf a|=\sqrt{\sum_i^3 a_i^2}\]벡터의 덧셈 뺄셈 연산은 결과는 또 다른 벡터이다.
\[\mathbf c = \mathbf a + \mathbf b\] \[\mathbf d = \mathbf a - \mathbf b\]한 벡터가 세 성분으로 이루어져 있다면, 위 더하기 빼기 연산을 각 성분에 대해 아래와 같이 표기할 수도 있다.
\[c_1 = a_1 + b_1\] \[c_2 = a_2 + b_2\] \[c_3 = a_3 + b_3\]혹은 더욱 요약해서
\[c_i=a_i+b_i \text{, with } i=1,2,3\]덧셈의 교환 법칙이 성립한다.
\[\mathbf a + \mathbf b = \mathbf b + \mathbf a\]벡터와 스칼라 사이의 곱은 또 다른 벡터이다.
스칼라와의 곱에는 연산 기호가 생략된다.
\[\mathbf c= d \mathbf b\]교환 법칙이 성립한다.
\[d \mathbf b = \mathbf b d\]양의 스칼라 값이 곱해지면, 벡터의 방향은 그대로 유지되며 그 크기만 달라진다.
음의 스칼라 값이 곱해지면, 벡터의 방향이 반전되며 그 크기가 달라진다.
$d=\pm 1$일하면, $\mathbf c$의 크기는 $\mathbf b$의 크기과 같다.
두 벡터 $\mathbf a$ 와 $\mathbf b$ 사이의 내적의 결과는 스칼라이며 이를 $c$라 한다면 아래와 같이 표기된다.
\[c = \mathbf a \cdot \mathbf b\]이는 아래와 같이 연산된다.
\[c = \mathbf a \cdot \mathbf b = | \mathbf a| |\mathbf b|\cos\theta\]이때 $\theta$는 두 벡터 $\mathbf a$와 $\mathbf b$ 사이의 끼인 각이다.
내적은 다음과 같이 연산될 수도 있다.
\[c = \mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_i^3 a_ib_i = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\]따라서 얻어지는 다음 두 관계는 매우 유용하다.
\[c = \mathbf a \cdot \mathbf b = | \mathbf a| |\mathbf b|\cos\theta=\sum_i^3 a_ib_i\]두 벡터의 외적의 결과는 또 다른 벡터이다.
두 벡터의 다이아딕 곱하기 결과는 2차 텐서이며, 3차원 벡터 둘의 다이아딕 결과은 2차 텐서를 $3\times 3$ 행렬로 표기할 수 있다.
두 벡터 $\mathbf a$와 $\mathbf b$의 다이아딕 연산 결과를 2차 텐서 $\mathbf A$라 하면, 이를 행렬로 표기할 때 다음과 같이 정의된다.