합금 조성의 질량분율과 원자분율을 이해하고 변환하기
이번 강의가 끝나면 다음을 할 수 있어야 한다.
합금에서 각 원소가 얼마나 들어 있는지는 여러 방법으로 나타낼 수 있다. 먼저 용어를 구분하자.
| 조성 표시 | 비교하는 양 | 흔히 쓰는 기호 | 백분율 표시 |
|---|---|---|---|
| 질량분율 | 각 성분의 질량 | $w_i$ | wt.% 또는 mass% |
| 원자분율 | 각 성분의 원자 개수 | $x_i$ | at.% |
| 몰분율 | 각 성분의 몰수 | $x_i$ | mol.% |
| 부피분율 | 각 성분 또는 상의 부피 | $f_i$ | vol.% |
일상적으로 ‘무게비’라고도 하지만, 물리적으로는 중력에 무관한 질량분율(mass fraction)이라는 표현이 더 정확하다.
성분 $i$의 질량이 $m_i$이고 전체 질량이 $m_{total}$이면 질량분율은
\[w_i=\frac{m_i}{m_{total}} =\frac{m_i}{\sum_j m_j}\]이다. 질량 백분율은
\[\mathrm{wt.\%}_i=100w_i\]이다.
예를 들어 전체 100 g 중 Al이 90 g, Cu가 10 g이면
\[w_{Al}=0.90, \qquad w_{Cu}=0.10\]이므로 Al–10 wt.% Cu 합금이다.
성분 $i$의 원자 개수가 $N_i$이면 원자분율은
\[x_i=\frac{N_i}{\sum_j N_j}\]이다. 같은 종류의 원자 $N_A$개를 1몰이라고 하므로 원소로 이루어진 합금에서는 원자분율과 몰분율의 수치가 같다.
\[x_i=\frac{n_i}{\sum_j n_j}\]여기서 $n_i$는 성분 $i$의 몰수다. 원자 백분율은
\[\mathrm{at.\%}_i=100x_i\]이다.
모든 분율의 합은 1이고 모든 백분율의 합은 100%여야 한다.
\[\sum_iw_i=1, \qquad \sum_ix_i=1\]질량분율을 원자분율로 바꾸려면 질량을 원자 개수에 비례하는 몰수로 바꿔야 한다.
\[\boxed{n_i=\frac{m_i}{M_i}}\]여기서 $M_i$는 성분 $i$의 몰질량이다. 원소의 몰질량은 주기율표에 표시된 원자량과 수치가 같고 단위는 일반적으로 g/mol을 사용한다.
예를 들어 Fe 55.845 g은 약 1 mol이고, C 12.011 g도 약 1 mol이다. 두 질량은 크게 다르지만 들어 있는 원자의 개수는 각각 약 1 mol만큼으로 같다.
| 원소 | 기호 | 몰질량 (g/mol) |
|---|---|---|
| 알루미늄 | Al | 26.982 |
| 탄소 | C | 12.011 |
| 철 | Fe | 55.845 |
| 니켈 | Ni | 58.693 |
| 구리 | Cu | 63.546 |
원자량이 작은 원소는 같은 질량 안에 더 많은 원자가 들어 있다. 따라서 질량분율과 원자분율은 일반적으로 같지 않다.
질량분율 $w_i$를 알고 있다면 각 성분의 상대적인 몰수는 $w_i/M_i$에 비례한다. 이를 전체 몰수로 나누면 원자분율을 얻는다.
\[\boxed{ x_i= \frac{w_i/M_i}{\displaystyle\sum_j w_j/M_j} }\]질량분율 대신 wt.%를 식에 그대로 넣어도 된다. 모든 성분에 공통으로 포함된 100이라는 인자가 분자와 분모에서 소거되기 때문이다.
계산 순서는 다음과 같다.
100 g을 가정하는 것은 계산을 쉽게 하기 위한 것이다. 분율이 같으면 1 g이나 1 kg을 가정해도 최종 원자분율은 같다.
원자분율 $x_i$에 몰질량 $M_i$를 곱하면 각 성분의 상대적인 질량을 얻는다. 따라서
\[\boxed{ w_i= \frac{x_iM_i}{\displaystyle\sum_j x_jM_j} }\]이다. at.%를 식에 그대로 넣어도 공통 인자가 소거된다.
계산 순서는 다음과 같다.
두 변환식의 차이를 기억하는 간단한 방법은 다음과 같다.
Fe–1 wt.% C 합금 100 g을 가정하면 Fe는 99 g, C는 1 g이다.
\[n_{Fe}=\frac{99}{55.845}\approx1.773\ \mathrm{mol}\] \[n_C=\frac{1}{12.011}\approx0.0833\ \mathrm{mol}\]따라서 탄소의 원자분율은
\[x_C=\frac{0.0833}{1.773+0.0833}\approx0.0449\]이고 철의 원자분율은
\[x_{Fe}=1-x_C\approx0.9551\]이다. 즉,
\[\boxed{\mathrm{Fe\text{-}1\ wt.\%\ C} \approx\mathrm{Fe\text{-}4.49\ at.\%\ C}}\]이다. C는 Fe보다 원자량이 훨씬 작으므로 1 wt.%라도 원자 개수 기준으로는 약 4.49 at.%가 된다.
전체가 100 mol의 원자라고 가정하면 Fe는 95 mol, C는 5 mol이다. 각 성분의 상대적인 질량은
\[m_{Fe}=95(55.845)=5305.275\] \[m_C=5(12.011)=60.055\]이다. 따라서 탄소의 질량분율은
\[w_C=\frac{60.055}{5305.275+60.055}\approx0.01119\]이므로
\[\boxed{\mathrm{Fe\text{-}5\ at.\%\ C} \approx\mathrm{Fe\text{-}1.12\ wt.\%\ C}}\]이다.
Al–4 wt.% Cu–2 wt.% Mg 합금을 생각하자. 나머지는 Al이므로 조성은 Al 94 wt.%, Cu 4 wt.%, Mg 2 wt.%이다. Mg의 몰질량은 24.305 g/mol이다.
100 g의 합금을 가정하면 상대적인 몰수는
\[\frac{94}{26.982}\approx3.484, \qquad \frac{4}{63.546}\approx0.0630, \qquad \frac{2}{24.305}\approx0.0823\]mol이다. 각각을 전체 몰수로 나누면 대략
\[x_{Al}=0.9600, \qquad x_{Cu}=0.0174, \qquad x_{Mg}=0.0227\]을 얻는다. 따라서 원자 백분율은 약 Al 96.00 at.%, Cu 1.74 at.%, Mg 2.27 at.%이다.
다원계 합금에서도 계산 원리는 이원계와 같다. 각 성분을 몰수로 바꾼 뒤 전체 합으로 나누면 된다.
여러 원소의 조성을 NumPy 배열에 같은 순서로 저장하면 한 번에 계산할 수 있다.
import numpy as np
def weight_to_atomic(weight_percent, atomic_weight):
weight_percent = np.asarray(weight_percent, dtype=float)
atomic_weight = np.asarray(atomic_weight, dtype=float)
if weight_percent.shape != atomic_weight.shape:
raise ValueError("composition and atomic weight must have the same shape")
if np.any(weight_percent < 0):
raise ValueError("composition cannot be negative")
if np.any(atomic_weight <= 0):
raise ValueError("atomic weight must be positive")
if np.isclose(weight_percent.sum(), 0):
raise ValueError("the sum of composition must be positive")
relative_moles = weight_percent / atomic_weight
atomic_fraction = relative_moles / relative_moles.sum()
return 100.0 * atomic_fraction
elements = np.array(["Fe", "C"])
weight_percent = np.array([99.0, 1.0])
atomic_weight = np.array([55.845, 12.011])
atomic_percent = weight_to_atomic(weight_percent, atomic_weight)
for element, value in zip(elements, atomic_percent):
print(f"{element}: {value:.2f} at.%")
입력 조성의 합이 반드시 100일 필요는 없다. 함수 안에서 전체 상대 몰수로 다시 정규화하기 때문이다. 다만 입력값들이 모두 같은 단위와 기준의 질량값이어야 한다.
def atomic_to_weight(atomic_percent, atomic_weight):
atomic_percent = np.asarray(atomic_percent, dtype=float)
atomic_weight = np.asarray(atomic_weight, dtype=float)
if atomic_percent.shape != atomic_weight.shape:
raise ValueError("composition and atomic weight must have the same shape")
if np.any(atomic_percent < 0):
raise ValueError("composition cannot be negative")
if np.any(atomic_weight <= 0):
raise ValueError("atomic weight must be positive")
if np.isclose(atomic_percent.sum(), 0):
raise ValueError("the sum of composition must be positive")
relative_mass = atomic_percent * atomic_weight
weight_fraction = relative_mass / relative_mass.sum()
return 100.0 * weight_fraction
atomic_percent = np.array([95.0, 5.0])
weight_percent = atomic_to_weight(atomic_percent, atomic_weight)
for element, value in zip(elements, weight_percent):
print(f"{element}: {value:.2f} wt.%")
변환한 값을 다시 원래 단위로 역변환하면 코드와 원소 순서가 올바른지 확인할 수 있다.
original_weight_percent = np.array([94.0, 4.0, 2.0])
atomic_weight_al_cu_mg = np.array([26.982, 63.546, 24.305])
converted_atomic_percent = weight_to_atomic(
original_weight_percent,
atomic_weight_al_cu_mg,
)
recovered_weight_percent = atomic_to_weight(
converted_atomic_percent,
atomic_weight_al_cu_mg,
)
print(converted_atomic_percent)
print(recovered_weight_percent)
print(np.allclose(original_weight_percent, recovered_weight_percent))
마지막 결과가 True이면 허용되는 부동소수점 오차 범위에서 원래 조성을 회복한 것이다.
원자분율과 부피분율은 서로 다른 개념이다. 부피분율로 변환하려면 원자량이 아니라 각 성분 또는 상의 밀도 $\rho_i$가 필요하다.
질량 $m_i$와 부피 $V_i$의 관계는
\[V_i=\frac{m_i}{\rho_i}\]이므로 질량분율에서 부피분율로의 변환식은
\[\boxed{ f_i= \frac{w_i/\rho_i}{\displaystyle\sum_jw_j/\rho_j} }\]이다. 반대 변환은
\[\boxed{ w_i= \frac{f_i\rho_i}{\displaystyle\sum_jf_j\rho_j} }\]이다.
이 식은 각 성분 또는 상의 밀도를 알고 있고 부피가 단순히 더해진다고 가정할 때 사용한다. 합금을 구성하는 원소의 밀도를 그대로 사용해 실제 합금상의 부피분율을 정확히 구할 수 있다고 단정해서는 안 된다. 실제 상의 부피분율을 구할 때는 각 상(phase)의 조성과 밀도가 필요하다.
예를 들어 ‘Fe–1C’라는 표현만으로는 1 wt.% C인지 1 at.% C인지 알 수 없다. 보고서와 그래프의 축에는 조성 기준을 명확히 써야 한다.
전체 200 g의 합금에 Al이 180 g, Cu가 20 g 들어 있다. 각 원소의 질량 백분율을 구하시오.
어떤 성분의 질량을 몰수로 바꾸려면 무엇으로 나누어야 하는가?
Cu 63.546 g과 Al 26.982 g은 각각 약 1 mol이다. 이 혼합물의 Cu와 Al 원자분율을 구하시오.
Fe 55.845 g과 C 12.011 g을 혼합하였다. Fe와 C의 질량 백분율과 원자 백분율을 각각 구하시오.
Fe–1 wt.% C에서 C의 원자 백분율이 1 at.%보다 큰 이유를 설명하시오.
원자분율에서 질량분율로 변환할 때 원자분율에 몰질량을 곱하는지 나누는지 쓰시오.
질량분율에서 부피분율을 구하려면 각 성분의 어떤 물성이 필요한가?
NumPy 변환 결과가 올바른지 확인할 수 있는 방법을 두 가지 쓰시오.